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Propriétés

Proposition Soient E et F des k-espaces vectoriels. Soit E' un sous espace vectoriel de E et soit une application linéaire de E dans F. Alors (E') est un sous espace vectoriel de F. Le sous espace vectoriel de F image de E par est noté Im .

Démonstration Soient y,y' $\in$ (E'). Il existe donc x,x' $\in$ E tels que y=(x) et y'=(x'). Soient $\alpha$ , $\alpha'\in$ k.Il suffit de vérifier que $\alpha$ y+ $\alpha'$ y' est élément de (E'). Mais $\alpha$ y+ $\alpha'$ y'= $\alpha$ (x)+ $\alpha'$ (x') =( $\alpha$ x+ $\alpha'$ x').

Définition Soient E et F deux k-espaces vectoriels. Soit une application linéaire de E dans F. Le sous ensemble de E des vecteurs annulant est appelé noyau de et est noté Ker .

$\begin{displaymath}Ker f=\lbrace x \in E / f(x)=0 \rbrace\end{displaymath}$

Proposition Le noyau d'un application linéaire est un sous espace vectoriel de l'espace de départ de l'application linéaire.

Démonstration Soit l'application linéaire considérée. Notons E l'espace vectoriel sur lequel est définie. Soient aussi x,y $\in$ Ker , $\alpha$ , $\beta\in$ k. Il suffit là aussi de vérifier que $\alpha$ x+ $\beta$ y $\in$ Ker . Mais ( $\alpha$ x+ $\beta$ y= $\alpha$ (x)+ $\beta$ (y)=0. Ker est donc bien un sous espace vectoriel de E.

La propriété qui suit est extrêmement utile pour prouver l'injectivité d'une application linéaire.

Proposition Soient E et F deux k-espaces vectoriels. Soit une application linéaire définie de E dans F. On a équivalence entre:

Ker = $\lbrace$ 0 $\rbrace$ .
est injective.

Démonstration Remarquons que E et F étant des espaces vectoriels, ce sont aussi des groupes pour leur loi interne respective et que , application linéaire de E dans F, est aussi un homomorphisme entre ces deux groupes. Or on sait que dans ce cas préçis, l'injectivité de est équivalente au fait que son noyau est réduit à l'élément neutre du groupe de départ.

Définition Soient E et F deux k-espaces vectoriels et une application linéaire de E dans F. Rappelons que Im est un sous espace vectoriel de F. Si Im est un sous espace vectoriel de dimension finie dans F alors on appelle rang de l'aplication linéaire la dimension de Im . On notera rg le rang de .

Proposition Soient E et F des k-espaces vectoriels. Soit une application linéaire de E dans F. Soit I un ensemble et A= $\lbrace e_i;i\in I\rbrace$ une famille de vecteurs de E indexés par I. Si A est une famille génératrice de E alors (A)= $\lbrace f(e_i);i\in I\rbrace$ est une famille génératrice de Im .

Démonstration Soit y $\in$ Im . Il existe x dans E tel que y=f(x). Mais la famille A est génératrice dans E. Donc il existe une famille $\lbrace \lambda_i;i\in I \rbrace$ de scalaires ( à support finie) de k telle que

$\begin{displaymath}x=\displaystyle{\sum_{i\in I} \lambda_i e_i }.\end{displaymath}$

Comme

est linéaire,

$\begin{displaymath}\displaystyle{y=f(x)=\sum_{i \in I}\lambda_i f(e_i)}.\end{displaymath}$

y étant quelconque dans Im

, la propriété est démontrée.

Corollaire Si E et F sont deux k espaces vectoriels, que E est de dimension finie et que est une application linéaire de E dans F alors est de rang fini dans F.

Démonstration Comme E est de dimension finie, E possède une famille A génératrice et de cardinal fini. L'image de cette famille par est une famille génératrice de Im qui est encore de cardinal fini. Par définition d'un espace vectoriel de dimension finie, Im est alors de dimension finie. Et le rang de étant la dimension de Im , est bien de rang fini.

Proposition Formule du rang Si E et F sont des k-espaces vectoriels, que E est de dimension finie, et que est une application linéaire de E dans F alors vérifie: dim Ker f+rg =dim E.

Démonstration E étant de dimension finie, on peut trouver une base de cardinal fini de Ker . Posons n=dim E et p=dim Ker . Soit $\lbrace e_1,...,e_p \rbrace$ une base de Ker . Prenons un sous espace E' supplémentaire à Ker . Cette base peut se complèter en une base $\lbrace e_1,...,e_p,e_{p+1},...,e_n \rbrace$ de E où les vecteurs $\lbrace e_{p+1},...,e_n \rbrace$ forment une base de ce supplémentaire. L'image de cette base par est génératrice de Im . Donc Im =Vect(f(e $_{p+1}$ ),...,f(e)). Cette famille est, de plus, libre dans Im : Si $\lambda_{p+1}$ ,..., $\lambda_n$ sont n-p scalaires de k tels que $\displaystyle{\sum_{i=p+1}^n \lambda_i f(e_i)=0}$ alors $\displaystyle{f(\sum_{i=p+1}^n \lambda_i e_i)=0}$ . Mais ceci implique que $\displaystyle{\sum_{i=p+1}^n \lambda_i e_i=0}$ est élément de Ker . Cette somme est une somme de vecteurs qui sont dans un sous espace supplémentaire E' de Ker . La somme est donc élément de E'. $\displaystyle{\sum_{i=p+1}^n \lambda_i e_i}$ est alors dans E' $\cap$ Ker . La seule possibilité est $\displaystyle{\sum_{i=p+1}^n \lambda_i e_i=0}$ . Mais cette famille est libre dans E donc $\lambda_i$ =0 pour tout i=p+1,...,n. Ces scalaires ayant été choisis de façon quelconque dans k, La famille $\lbrace$ f(e $_{p+1}$ ),...f(e) $\rbrace$ est libre dans Im . C'est donc une base de Im et dim Im =n-p. Mais dim Im =rg . L'égalité n=(n-p)+p équivaut donc à dim E= rg +dim Ker .

Corollaire Si E et F sont deux espaces vectoriels tels que E est de dimension finie et que F est isomorphe à E alors F est aussi de dimension finie et dim E=dim F.

Démonstration Comme E et F sont isomorphes, il existe un isomorphisme :E $\rightarrow$ F. étant, par définition, une application bijective, elle est en particulier surjective et Im =F. Mais Im étant d'après la proposition précédente de dimension finie, il en est de même de F. On peut alors parler de la dimension de F. Cette dimension est égale à rg . Mais comme est aussi injective, Ker = $\lbrace$ 0 $\rbrace$ et dim Ker =0. La formule précédente appliquer au cas ici étudié donne rg =dim E. Donc dim E= dim F. E et F ont même dimension.

Mais la réciproque de ce théorème est aussi vraie.

Proposition Si E et F sont deux k-espaces vectoriels de même dimension alors ils sont isomorphes.

Démonstration Soit n la dimension de E. Soit (e) $_{i=1,...,n}$ une base de E et soit (f) $_{i=1,...,n}$ une base de F. Choisissons pour l'application linéaire qui envoie e sur pour tout i=1,...,n. Cela signifie qu'un point x de E s'écrivant $\displaystyle{x=\sum_{i=1}^n \alpha_i e_i}$ , (x) vaudra: $\displaystyle{f(x)=\sum_{i=1}^n \alpha_i f_i}$ . ainsi définie est bien linéaire. De plus son noyau est réduit à l'élément nul de E. Son rang est donc égal à n. Cela signifie que son image est de dimension n mais aussi qu'elle est surjective. définie bien un isomorphisme entre E et F.

Terminons par la propriété suivante qui n'a rien de très surprenant:

Proposition Soient E, F, G trois k-espaces vectoriels. Soient et deux applications linéaires définies l'une de E dans F et l'autre de F dans G. Alors $\circ$ est une application linéaire définie de E dans G.

Démonstration Soient x et y deux éléments de E, $\alpha$ et $\beta$ deux éléments de k. La linéarité de puis celle de implique: $\circ$ ( $\alpha$ x+ $\beta$ y)=( $\alpha$ (x)+ $\beta$ (y))= $\alpha$ g $\circ$ (x)+ $\beta$ $\circ$ (y), ce qui démontre la propriété.