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Propriétés

Proposition Soient E et F des k-espaces vectoriels. Soit E' un sous espace vectoriel de E et soit $f$ une application linéaire de E dans F. Alors $f$(E') est un sous espace vectoriel de F. Le sous espace vectoriel de F image de E par $f$ est noté Im $f$.

Démonstration Soient y,y'$\in$$f$(E'). Il existe donc x,x'$\in$E tels que y=$f$(x) et y'=$f$(x'). Soient $\alpha$,$\alpha'\in$k.Il suffit de vérifier que $\alpha$y+$\alpha'$y' est élément de $f$(E'). Mais $\alpha$y+$\alpha'$y'= $\alpha$$f$(x)+$\alpha'$$f$(x') =$f$($\alpha$x+$\alpha'$x').

Définition Soient E et F deux k-espaces vectoriels. Soit $f$ une application linéaire de E dans F. Le sous ensemble de E des vecteurs annulant $f$ est appelé noyau de $f$ et est noté Ker $f$.

\begin{displaymath}Ker f=\lbrace x \in E  /  f(x)=0 \rbrace\end{displaymath}


Proposition Le noyau d'un application linéaire est un sous espace vectoriel de l'espace de départ de l'application linéaire.

Démonstration Soit $f$ l'application linéaire considérée. Notons E l'espace vectoriel sur lequel $f$ est définie. Soient aussi x,y$\in$Ker $f$, $\alpha$,$\beta\in$k. Il suffit là aussi de vérifier que $\alpha$x+$\beta$y$\in$Ker $f$. Mais $f$($\alpha$x+$\beta$y$)$=$\alpha$$f$(x)+$\beta$$f$(y)=0. Ker $f$ est donc bien un sous espace vectoriel de E.

La propriété qui suit est extrêmement utile pour prouver l'injectivité d'une application linéaire.

Proposition Soient E et F deux k-espaces vectoriels. Soit $f$ une application linéaire définie de E dans F. On a équivalence entre:

  • Ker $f$=$\lbrace$0$\rbrace$.
  • $f$ est injective.
$ $

Démonstration Remarquons que E et F étant des espaces vectoriels, ce sont aussi des groupes pour leur loi interne respective et que $f$, application linéaire de E dans F, est aussi un homomorphisme entre ces deux groupes. Or on sait que dans ce cas préçis, l'injectivité de $f$ est équivalente au fait que son noyau est réduit à l'élément neutre du groupe de départ.

Définition Soient E et F deux k-espaces vectoriels et $f$ une application linéaire de E dans F. Rappelons que Im $f$ est un sous espace vectoriel de F. Si Im $f$ est un sous espace vectoriel de dimension finie dans F alors on appelle rang de l'aplication linéaire $f$ la dimension de Im $f$. On notera rg $f$ le rang de $f$.

Proposition Soient E et F des k-espaces vectoriels. Soit $f$ une application linéaire de E dans F. Soit I un ensemble et A= $\lbrace e_i;i\in I\rbrace$ une famille de vecteurs de E indexés par I. Si A est une famille génératrice de E alors $f$(A)= $\lbrace f(e_i);i\in I\rbrace$ est une famille génératrice de Im $f$.

Démonstration Soit y$\in$Im $f$. Il existe x dans E tel que y=f(x). Mais la famille A est génératrice dans E. Donc il existe une famille $\lbrace \lambda_i;i\in I \rbrace$ de scalaires ( à support finie) de k telle que

\begin{displaymath}x=\displaystyle{\sum_{i\in I} \lambda_i e_i }.\end{displaymath}

Comme $f$ est linéaire,

\begin{displaymath}\displaystyle{y=f(x)=\sum_{i \in I}\lambda_i f(e_i)}.\end{displaymath}

y étant quelconque dans Im $f$, la propriété est démontrée.

Corollaire Si E et F sont deux k espaces vectoriels, que E est de dimension finie et que $f$ est une application linéaire de E dans F alors $f$ est de rang fini dans F.

Démonstration Comme E est de dimension finie, E possède une famille A génératrice et de cardinal fini. L'image de cette famille par $f$ est une famille génératrice de Im $f$ qui est encore de cardinal fini. Par définition d'un espace vectoriel de dimension finie, Im $f$ est alors de dimension finie. Et le rang de $f$ étant la dimension de Im $f$, $f$ est bien de rang fini.

Proposition Formule du rang Si E et F sont des k-espaces vectoriels, que E est de dimension finie, et que $f$ est une application linéaire de E dans F alors $f$ vérifie: dim Ker f+rg $f$=dim E.

Démonstration E étant de dimension finie, on peut trouver une base de cardinal fini de Ker $f$. Posons n=dim E et p=dim Ker $f$. Soit $\lbrace e_1,...,e_p \rbrace $ une base de Ker $f$. Prenons un sous espace E' supplémentaire à Ker $f$. Cette base peut se complèter en une base $\lbrace e_1,...,e_p,e_{p+1},...,e_n \rbrace $ de E où les vecteurs $\lbrace e_{p+1},...,e_n \rbrace $ forment une base de ce supplémentaire. L'image de cette base par $f$ est génératrice de Im $f$. Donc Im $f$=Vect(f(e$_{p+1}$),...,f(e$_n$)). Cette famille est, de plus, libre dans Im $f$: Si $\lambda_{p+1}$,...,$\lambda_n$ sont n-p scalaires de k tels que $\displaystyle{\sum_{i=p+1}^n \lambda_i f(e_i)=0}$ alors $\displaystyle{f(\sum_{i=p+1}^n \lambda_i e_i)=0}$. Mais ceci implique que $\displaystyle{\sum_{i=p+1}^n \lambda_i e_i=0}$ est élément de Ker $f$. Cette somme est une somme de vecteurs qui sont dans un sous espace supplémentaire E' de Ker $f$. La somme est donc élément de E'. $\displaystyle{\sum_{i=p+1}^n \lambda_i e_i}$ est alors dans E'$\cap$Ker $f$. La seule possibilité est $\displaystyle{\sum_{i=p+1}^n \lambda_i e_i=0}$. Mais cette famille est libre dans E donc $\lambda_i$=0 pour tout i=p+1,...,n. Ces scalaires ayant été choisis de façon quelconque dans k, La famille $\lbrace$f(e$_{p+1}$),...f(e$_n$)$\rbrace$ est libre dans Im $f$. C'est donc une base de Im $f$ et dim Im $f$=n-p. Mais dim Im $f$=rg $f$. L'égalité n=(n-p)+p équivaut donc à dim E= rg $f$+dim Ker $f$.

Corollaire Si E et F sont deux espaces vectoriels tels que E est de dimension finie et que F est isomorphe à E alors F est aussi de dimension finie et dim E=dim F.

Démonstration Comme E et F sont isomorphes, il existe un isomorphisme $f$:E$\rightarrow$F. $f$ étant, par définition, une application bijective, elle est en particulier surjective et Im $f$=F. Mais Im $f$ étant d'après la proposition précédente de dimension finie, il en est de même de F. On peut alors parler de la dimension de F. Cette dimension est égale à rg $f$. Mais comme $f$ est aussi injective, Ker $f$=$\lbrace$ 0 $\rbrace$ et dim Ker $f$=0. La formule précédente appliquer au cas ici étudié donne rg $f$=dim E. Donc dim E= dim F. E et F ont même dimension.

Mais la réciproque de ce théorème est aussi vraie.

Proposition Si E et F sont deux k-espaces vectoriels de même dimension alors ils sont isomorphes.

Démonstration Soit n la dimension de E. Soit (e$_i$)$_{i=1,...,n}$ une base de E et soit (f$_i$)$_{i=1,...,n}$ une base de F. Choisissons pour $f$ l'application linéaire qui envoie e$_i$ sur $f$$_i$ pour tout i=1,...,n. Cela signifie qu'un point x de E s'écrivant $\displaystyle{x=\sum_{i=1}^n \alpha_i e_i}$, $f$(x) vaudra: $\displaystyle{f(x)=\sum_{i=1}^n \alpha_i f_i}$. $f$ ainsi définie est bien linéaire. De plus son noyau est réduit à l'élément nul de E. Son rang est donc égal à n. Cela signifie que son image est de dimension n mais aussi qu'elle est surjective. $f$ définie bien un isomorphisme entre E et F.

Terminons par la propriété suivante qui n'a rien de très surprenant:

Proposition Soient E, F, G trois k-espaces vectoriels. Soient $f$ et $g$ deux applications linéaires définies l'une de E dans F et l'autre $g$ de F dans G. Alors $g$$\circ$$f$ est une application linéaire définie de E dans G.

Démonstration Soient x et y deux éléments de E, $\alpha$ et $\beta$ deux éléments de k. La linéarité de $f$ puis celle de $g$ implique: $g$$\circ$$f$($\alpha$x+$\beta$y)=$g$($\alpha$$f$(x)+$\beta$$f$(y))=$\alpha$g$\circ$$f$(x)+$\beta$$g$$\circ$$f$(y), ce qui démontre la propriété.


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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