Structure de $\cal L$ (E,F)

Proposition Soient E et F deux k-espaces vectoriels. Alors: ( $\cal L$ (E,F),+,.) est un k-espace vectoriel (où . désigne la loi externe de k $\times$ $\cal L$ (E,F) dans E qui au couple ( $\lambda$ ,) dek $\times$ $\cal L$ (E,F) associe $\lambda$ ).

Démonstration On vérifie sans peine que si et sont des applications linéaires de E dans F et que $\lambda\in$ k alors + et $\lambda$ sont des applications linéaires définies de E dans F. On vérifie même, et ce tout aussi facilement, que si $\beta\in$ k alors $\lambda$ + $\beta$ est un élément de $\cal L$ (E,F). Donc $\cal L$ (E,F) est un sous espace vectoriel de l'ensemble des applications de E dans F. C'est donc un k-espace vectoriel.

Proposition Soit E un k-espace vectoriel. ( $\cal L$ (E),+, $\circ$ ) est une anneau unitaire ( pas forcément commutatif ). L'unité est donnée par l'application identique de E.

Démonstration C'est facile!

Proposition L'ensemble des éléments inversibles de l'anneau $\cal L$ (E) est un groupe pour la loi de composition $\circ$ de $\cal L$ (E). Ce groupe est le groupe linéaire de E: GL(E).

Démonstration Notons Inv(E) l'ensemble des applications inversibles de $\cal L$ (E). Si $\in$ Inv(E) alors $\exists$ g $\in$ Inv(E) tel que $\circ$ g=g $\circ$ =Id. est donc bijective. Comme c'est une application linéaire, c'est aussi un isomorphisme, et donc un élément de GL(E). Réciproquement, supposons que est un élément de GL(E). Pour vérifier que est un élément de Inv(E), il suffit de vérifier que l'application réciproque de est linéaire: désignons par g cette application réciproque et montrons que g est linéaire. Si y et y' sont éléments de E, il existe des éléments x et x' de E tels que y=f(x) et y'=f(x'). Alors si $\alpha$ , $\beta\in$ k, g( $\alpha$ y+ $\beta$ y')=g( $\alpha$ f(x)+ $\beta$ f(x'))=g $\circ$ f( $\alpha$ x+ $\beta$ x'). Cette dernière égalité étant conséquence de la linéarité de . Mais g est l'application réciproque de donc g $\circ$ f=Id. On obtient alors g( $\alpha$ y+ $\beta$ y')= $\alpha$ x+ $\beta$ x'= $\alpha$ g(y)+ $\beta$ g(y'), relation qui prouve la linéarité de g. L'égalité entre les deux ensembles GL(E) et Inv(E) est alors assurée. Comme Inv(E) est un sous groupe de $\cal L$ (E) pour la loi de composition, il en est de même de GL(E).