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Structure de $\cal L$(E,F)

Proposition Soient E et F deux k-espaces vectoriels. Alors: ($\cal L$(E,F),+,.) est un k-espace vectoriel (où . désigne la loi externe de k$\times$$\cal L$(E,F) dans E qui au couple ($\lambda$,$f$) dek$\times$$\cal L$(E,F) associe $\lambda$$f$).

Démonstration On vérifie sans peine que si $f$ et $g$ sont des applications linéaires de E dans F et que $\lambda\in$k alors $f$+$g$ et $\lambda$$f$ sont des applications linéaires définies de E dans F. On vérifie même, et ce tout aussi facilement, que si $\beta\in$k alors $\lambda$$f$+$\beta$$g$ est un élément de $\cal L$(E,F). Donc $\cal L$(E,F) est un sous espace vectoriel de l'ensemble des applications de E dans F. C'est donc un k-espace vectoriel.

Proposition Soit E un k-espace vectoriel. ($\cal L$(E),+,$\circ$) est une anneau unitaire ( pas forcément commutatif ). L'unité est donnée par l'application identique de E.

Démonstration C'est facile!

Proposition L'ensemble des éléments inversibles de l'anneau $\cal L$(E) est un groupe pour la loi de composition $\circ$ de $\cal L$(E). Ce groupe est le groupe linéaire de E: GL(E).

Démonstration Notons Inv(E) l'ensemble des applications inversibles de $\cal L$(E). Si $f$$\in$Inv(E) alors $\exists$g$\in$Inv(E) tel que $f$$\circ$g=g$\circ$$f$=Id. $f$ est donc bijective. Comme c'est une application linéaire, c'est aussi un isomorphisme, et donc un élément de GL(E). Réciproquement, supposons que $f$ est un élément de GL(E). Pour vérifier que $f$ est un élément de Inv(E), il suffit de vérifier que l'application réciproque de $f$ est linéaire: désignons par g cette application réciproque et montrons que g est linéaire. Si y et y' sont éléments de E, il existe des éléments x et x' de E tels que y=f(x) et y'=f(x'). Alors si $\alpha$,$\beta\in$k, g($\alpha$y+$\beta$y')=g($\alpha$f(x)+$\beta$f(x'))=g$\circ$f($\alpha$x+$\beta$x'). Cette dernière égalité étant conséquence de la linéarité de $f$. Mais g est l'application réciproque de $f$ donc g$\circ$f=Id$_E$. On obtient alors g($\alpha$y+$\beta$y')=$\alpha$x+$\beta$x'=$\alpha$g(y)+$\beta$g(y'), relation qui prouve la linéarité de g. L'égalité entre les deux ensembles GL(E) et Inv(E) est alors assurée. Comme Inv(E) est un sous groupe de $\cal L$(E) pour la loi de composition, il en est de même de GL(E).

Remarquons que cette dernière proposition justifie le nom donné à GL(E): groupe linéaire.


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Emmanuel_Vieillard-Baron_pour_les-mathematiques
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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