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Des applications linéaires particulières: les projecteurs

Proposition Soit E un k-espace vectoriel. Soient F et F' deux sous espaces qui sont supplémentaires dans E. Soient p et p' les endomorphismes de E définies par, $\forall x\in E$ x=p(x)+p'(x), p(x)$\in$F et p'(x)$\in$F'. p et p' sont linéaires et vérifient p$^{2}$=p, p'$^{2}$=p', p$\circ$p'=p'$\circ$p=0, Ker p=Im p', Ker p'=Im p.

Démonstration Montrons que p et p' sont bien définies. Soient x$\in$E ,soient x$_1$,x$_2 \in$F et x'$_1$,x'$_2 \in$F' tels que x=x$_1$+x'$_1$=x$_2$+x'$_2$. Alors x$_1$-x$_2$=x'$_1$-x'$_2$. Le premier membre de cette égalité est élément de F et le second est élément de F'. Donc, ces deux membres sont à la fois éléments de F et de F'. Ceci n'est possible que si chacun des deux membres est nul. Donc x$_1$=x$_2$ et x'$_1$=x'$_2$. p et p' sont donc bien définies.
On vérifie facilement que ces deux applications sont linéaires. Si x est élément de F alors p(x)=x, ce qui prouve que p$^{2}$=p. Idem pour p'. Les autres égalités sont évidentes.

Définition Soit E un k-espace vectoriel. Soit $\Pi$ un endomorphisme de E tel que $\Pi^2$=$\Pi$.( $\Pi$ est idempotent). $\Pi$ est un projecteur sur E.

Proposition Soit p un projecteur définie sur le k-espace vectoriel E. Soit p'=Id$_E$-p. Soient F=Im p et F'=Im p'. Alors F et F' sont supplémentaires dans E. p est le projecteur sur F parallèlement à F'.

Démonstration Soit x$\in$E. x vérifie: x=p(x)+p'(x). Donc F et F' vérifient F+F'=E. On vérifie facilement que p' est un projecteur (p'$^{2}$=p'). Supposons que x est élément de F$\cap$F'. Alors il existe y$\in$F et y'$\in$F' tels que x=p(y)=y'-p(y). Appliquons p à ces égalités: p(x)=p$^{2}$(y)=p(y)=x=p(y')-p$^{2}$(y')=p(y')-p(y')=0. Donc x=0. Ce qui prouve que le somme F+F' est directe et donc que F et F' sont supplémentaires dans E.


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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