Des applications linéaires particulières: les projecteurs

Proposition Soit E un k-espace vectoriel. Soient F et F' deux sous espaces qui sont supplémentaires dans E. Soient p et p' les endomorphismes de E définies par, $\forall x\in E$ x=p(x)+p'(x), p(x) $\in$ F et p'(x) $\in$ F'. p et p' sont linéaires et vérifient p $^{2}$ =p, p' $^{2}$ =p', p $\circ$ p'=p' $\circ$ p=0, Ker p=Im p', Ker p'=Im p.

Démonstration Montrons que p et p' sont bien définies. Soient x $\in$ E ,soient x,x $_2 \in$ F et x',x' $_2 \in$ F' tels que x=x+x'=x+x'. Alors x-x=x'-x'. Le premier membre de cette égalité est élément de F et le second est élément de F'. Donc, ces deux membres sont à la fois éléments de F et de F'. Ceci n'est possible que si chacun des deux membres est nul. Donc x=x et x'=x'. p et p' sont donc bien définies.
On vérifie facilement que ces deux applications sont linéaires. Si x est élément de F alors p(x)=x, ce qui prouve que p $^{2}$ =p. Idem pour p'. Les autres égalités sont évidentes.

Définition Soit E un k-espace vectoriel. Soit $\Pi$ un endomorphisme de E tel que $\Pi^2$ = $\Pi$ .( $\Pi$ est idempotent). $\Pi$ est un projecteur sur E.

Proposition Soit p un projecteur définie sur le k-espace vectoriel E. Soit p'=Id-p. Soient F=Im p et F'=Im p'. Alors F et F' sont supplémentaires dans E. p est le projecteur sur F parallèlement à F'.

Démonstration Soit x $\in$ E. x vérifie: x=p(x)+p'(x). Donc F et F' vérifient F+F'=E. On vérifie facilement que p' est un projecteur (p' $^{2}$ =p'). Supposons que x est élément de F $\cap$ F'. Alors il existe y $\in$ F et y' $\in$ F' tels que x=p(y)=y'-p(y). Appliquons p à ces égalités: p(x)=p $^{2}$ (y)=p(y)=x=p(y')-p $^{2}$ (y')=p(y')-p(y')=0. Donc x=0. Ce qui prouve que le somme F+F' est directe et donc que F et F' sont supplémentaires dans E.