Espaces vectoriels quotients

Définition -Proposition Soit E un k-espace vectoriel. Soit V un sous espace de E. Sur E, on considère la relation d'équivalence suivante: si x,y xy x-yV. est une relation d'équivalence sur E. On note E/V l'ensemble E/ des classes d'équivalences de cette relation. E/V a une structure de k-espace vectoriel.

Démonstration Rappelons que (E,+) a une structure de groupe et que dans un groupe la relation précédemment définie est une relation d'équivalence. De plus, comme (E,+) est un groupe abélien, (V,+) est un sous groupe distingué de E. E/V a donc une structure de groupe abélien pour la loi + héritée de celle de E. Définissons une loi externe sur E/V par: si E/V et k alors = . Montrons que cette loi est bien définie. Il faut pour cela vérifier que si = alors = . La première égalité implique que x-y V. Comme V=V, (x-y)V et donc x-yV. Ce qui prouve que notre loi externe est bien définie. Il faudrait encore vérifier les quelques axiomes restant pour terminer de montrer que E/V est un espace vectoriel mais c'est élémentaire.

Proposition Soit E et F deux k-espaces vectoriels et V un sous espace vectoriel de E. Soit l'application de E dans E/V qui à x associe sa classe d'équivalence dans E/V ( est la projection de E dans E/V). Soit aussi une application linéaire définie de E dans F. Alors:

• est une application linéaire de E dans E/V.
• Il existe une unique application linéaire :E/VF telle que .

Démonstration Considérant E et F comme des groupes additifs et comme un homomorphisme entre groupe additif, on sait que :EE/V est un homomorphisme de groupe et qu'il existe un morphisme vérifiant . Nous avons même prouvé dans la proposition précédente que est une application linéaire entre les espaces vectoriels E et E/V. Il suffit maintenant de montrer que est elle aussi linéaire. Pour ce faire, choisissons deux éléments x et y de E et deux éléments et de k. Alors (x) et (y). Donc =f =f(x)+f(y). Ce qui prouve la linéarité de .

Proposition Soit E et F deux k-espace vectoriel. Soit une application linéaire définie de E dans F. Ker étant un sous espace vectoriel de E, on peut considérer l'espace vectoriel quotient: E/Ker . Soit la projection de E dans E/Ker qui à x associe sa classe d'équivalence dans E/Ker . L'application =f est un isomorphisme de E/ker sur Im .

Démonstration Rapellons que si est un morphisme entre espaces vectoriels, Im est un sous espace vectoriel de l'espace d'arrivée de . On a démontré dans la proposition précédente que est une aplication linéaire de E/Ker dans F. Il suffit de démontrer qu'elle est injective. ( Elle est nécessairement surjective sur son image). Soit Ker . Alors =0. Mais par définition de , si xE est tel que (x)= cela implique que (x)=0 soit encore (x)=0 et donc x. Soit =0. La proposition est ainsi démontrée.

Proposition Soit F un sous espace vectoriel du k-espace vectoriel E. Tout supplémentaire de F dans E est isomorphe à E/F.

Démonstration Soit F' un supplémentaire de F dans E. Soit l'application canonique définie de E dans E/F qui à un vecteur v de E associe sa classe d'équivalence dans E/F. Soit la restriction de cette application linéaire au sous espace vectoriel F' de E. Le noyau Ker vérifie Ker = Ker F'=FD'=. De plus est surjective car si est élément de E/F alors , v étant élément de E, on peut le décomposer en la somme v=u+u' où uF et u'F' et comme v-u'=uF, =(v)=(u)=(u)=. Donc est un isomorphisme entre F' et E/F.

Proposition Soit E un k-espace vectoriel et V un sous espace vectoriel de E. Si E est de dimension finie alors dim E=dim V+dim E/V.

Démonstration La projection :EE/V est une application linéaire surjective. Donc rg =dim E/V. De plus Ker =V. Comme dim E=dim Ker +rg , la formule dim E=dim V+dim E/V est vérifiée.

Le travail précédent nous permet la définition:

Définition Soit E un k-espace vectoriel et soit F un sous espace vectoriel de E. Soit F' un supplémentaire de F dans E. Si F' est de dimension infinie, on dit que F est de codimension infinie. Sinon on appelle codimension du sous espace vectoriel F la dimension de ce supplémentaire.

Cette notion a un sens car les supplémentaires d'un sous espace vectoriel sont isomorphes et donc s'ils sont de dimension finie, ont même dimension. Terminons par:

Définition Un sous espace vectoriel de codimension 1 est un hyperplan vectoriel.