Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
203 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 
Espaces vectoriels quotients next up previous
monter: Applications linéaires et espaces précédent: Des applications linéaires particulières:

Espaces vectoriels quotients

Définition -Proposition Soit E un k-espace vectoriel. Soit V un sous espace de E. Sur E, on considère la relation d'équivalence suivante: si x,y$\in E$ x$\cal R$y $\Leftrightarrow$ x-y$\in$V. $\cal R$ est une relation d'équivalence sur E. On note E/V l'ensemble E/$\cal R$ des classes d'équivalences de cette relation. E/V a une structure de k-espace vectoriel.

Démonstration Rappelons que (E,+) a une structure de groupe et que dans un groupe la relation précédemment définie est une relation d'équivalence. De plus, comme (E,+) est un groupe abélien, (V,+) est un sous groupe distingué de E. E/V a donc une structure de groupe abélien pour la loi + héritée de celle de E. Définissons une loi externe sur E/V par: si $\overline x \in$E/V et $\lambda\in$k alors $\lambda \overline x$= $\overline{\lambda x}$. Montrons que cette loi est bien définie. Il faut pour cela vérifier que si $\overline x$=$\overline y$ alors $\lambda \overline x$= $\lambda \overline y$. La première égalité implique que x-y$\in$ V. Comme $\lambda$V=V, $\lambda$(x-y)$\in$V et donc $\lambda$x-$\lambda$y$\in$V. Ce qui prouve que notre loi externe est bien définie. Il faudrait encore vérifier les quelques axiomes restant pour terminer de montrer que E/V est un espace vectoriel mais c'est élémentaire.

Proposition Soit E et F deux k-espaces vectoriels et V un sous espace vectoriel de E. Soit $\Pi$ l'application de E dans E/V qui à x associe sa classe d'équivalence $\overline x$ dans E/V ( $\Pi$ est la projection de E dans E/V). Soit aussi $f$ une application linéaire définie de E dans F. Alors:

  • $\Pi$ est une application linéaire de E dans E/V.
  • Il existe une unique application linéaire $\overline f$:E/V$\rightarrow$F telle que $\forall x \in E f(x)=\overline f \circ \Pi (x)$.
$ $

Démonstration Considérant E et F comme des groupes additifs et $f$ comme un homomorphisme entre groupe additif, on sait que $\Pi$:E$\rightarrow$E/V est un homomorphisme de groupe et qu'il existe un morphisme $\overline f$ vérifiant $f=\overline f \circ \Pi$. Nous avons même prouvé dans la proposition précédente que $\Pi$ est une application linéaire entre les espaces vectoriels E et E/V. Il suffit maintenant de montrer que $\overline f$ est elle aussi linéaire. Pour ce faire, choisissons deux éléments x et y de E et deux éléments $\lambda$ et $\beta$ de k. Alors $\overline x=\Pi$(x) et $\overline y=\Pi$(y). Donc $\overline f( \lambda \overline x + \beta \overline y)$=f $\circ \Pi (\alpha x + \beta y)$=$\alpha$f$\circ \Pi$(x)+$\beta$f$\circ \Pi$(y). Ce qui prouve la linéarité de $\overline f$.

Proposition Soit E et F deux k-espace vectoriel. Soit $f$ une application linéaire définie de E dans F. Ker $f$ étant un sous espace vectoriel de E, on peut considérer l'espace vectoriel quotient: E/Ker $f$. Soit $\Pi$ la projection de E dans E/Ker $f$ qui à x associe sa classe d'équivalence $\overline x$ dans E/Ker $f$. L'application $\overline f$=f$\circ \Pi$ est un isomorphisme de E/ker $f$ sur Im $f$.

Démonstration Rapellons que si $f$ est un morphisme entre espaces vectoriels, Im $f$ est un sous espace vectoriel de l'espace d'arrivée de $f$. On a démontré dans la proposition précédente que $\overline f$ est une aplication linéaire de E/Ker $f$ dans F. Il suffit de démontrer qu'elle est injective. ( Elle est nécessairement surjective sur son image). Soit $\overline x \in$Ker $f$. Alors $\overline f(\overline x)$=0. Mais par définition de $\overline f$, si x$\in$E est tel que $\Pi$(x)=$\overline x$ cela implique que $\overline f \circ \Pi$(x)=0 soit encore $f$(x)=0 et donc x$\in Ker f$. Soit $\overline x$=0. La proposition est ainsi démontrée.

Proposition Soit F un sous espace vectoriel du k-espace vectoriel E. Tout supplémentaire de F dans E est isomorphe à E/F.

Démonstration Soit F' un supplémentaire de F dans E. Soit $\Pi$ l'application canonique définie de E dans E/F qui à un vecteur v de E associe sa classe d'équivalence $\overline v$ dans E/F. Soit $\Pi_{/F'}$ la restriction de cette application linéaire au sous espace vectoriel F' de E. Le noyau Ker $\Pi_{/F'}$ vérifie Ker $\Pi_{/F'}$ = Ker $\Pi\cap$F'=F$\cap$D'=$\{0\}$. De plus $\Pi_{/F'}$ est surjective car si $\overline v$ est élément de E/F alors , v étant élément de E, on peut le décomposer en la somme v=u+u' où u$\in$F et u'$\in$F' et comme v-u'=u$\in$F, $\overline v$=$\Pi$(v)=$\Pi$(u)=$\Pi_{/F'}$(u)=$\overline u$. Donc $\Pi_{/F'}$ est un isomorphisme entre F' et E/F.

Proposition Soit E un k-espace vectoriel et V un sous espace vectoriel de E. Si E est de dimension finie alors dim E=dim V+dim E/V.

Démonstration La projection $\Pi$:E$\rightarrow$E/V est une application linéaire surjective. Donc rg $\Pi$=dim E/V. De plus Ker $\Pi$=V. Comme dim E=dim Ker $\Pi$+rg $\Pi$, la formule dim E=dim V+dim E/V est vérifiée.

Le travail précédent nous permet la définition:

Définition Soit E un k-espace vectoriel et soit F un sous espace vectoriel de E. Soit F' un supplémentaire de F dans E. Si F' est de dimension infinie, on dit que F est de codimension infinie. Sinon on appelle codimension du sous espace vectoriel F la dimension de ce supplémentaire.

Cette notion a un sens car les supplémentaires d'un sous espace vectoriel sont isomorphes et donc s'ils sont de dimension finie, ont même dimension. Terminons par:

Définition Un sous espace vectoriel de codimension 1 est un hyperplan vectoriel.


next up previous
monter: Applications linéaires et espaces précédent: Des applications linéaires particulières:
Emmanuel_Vieillard-Baron_pour_les-mathematiques
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page