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Quelques matrices particulières

Définition Soit M$\in \cal M$$_k$(m,n). On suppose que M=($\lambda_{ij}$) $_{i=1,...,m,j=1,...,n}$.On appelle transposée de la matrice M et on note $^{t}$M la matrice de $\cal M$$_k$(n,m): $^{t}$M=($\lambda'_{ij}$) $_{i=1,...,n,j=1,...,m}$ telle que $\lambda'_{ij}=\lambda_{ji} \forall$i=1,...,n, j=1,....,m.

Voici quelques matrices carrées particulières et qui seront souvent utilisées:

Définition Soit M=($\alpha_{ij}$) $_{i,j=1,...,n}\in \cal M$$_k$(n). Si $\alpha_{ij}$=0$\forall$i$\neq$j alors M est une matrice diagonale. Les éléments de la diagonale sont appelés lescoefficients diagonaux.

Définition Soit M=($\alpha_{ij}$) $_{i,j=1,...,n}\in \cal M$$_k$(n). Si $\alpha_{ij}$=0 $\forall$i$\geq$j alors M est dite triangulaire supérieure. Si de plus les coefficients de la diagonale sont nuls alors M est dite triangulaire supérieure strict. On définirait de même les matrices triangulaires inférieures et les matrices triangulaires inférieures strictes.

Définition On dit qu'une matrice M de $\cal M$$_k$(m,n) est diagonale par bloc si elle est de la forme

\begin{displaymath}\left(
\begin{array}{ccccc}
M_1&0&\cdots&0\\
0&M_2&\vdots&0\...
...ts&\vdots&\ddots&\vdots\\
0&0&\cdots&M_k\\
\end{array}\right)\end{displaymath}

où les M$_i$ sont des matrices carrés.

Remarquons aussi que le produit de deux matrices diagonales est évident à effectuer. De même, il est plus facile de calculer le produit de deux matrices triangulaires que de deux matrices quelconques. De façon générale, il sera plus aisé de travailler avec des matrices d'un de ces deux types qu'avec des matrices quelconques. Une partie de l'algèbre linéaire a pour vocation de déterminer les critères qui permettent de savoir, pour une application linéaire donnée, si elle peut avoir ou non une écriture matricielle sous forme diagonale ou trigonale. Cette théorie s'appelle la réduction des endomorphismes et nous la développerons dans une prochaine leçon.

Définition Soit M=($\alpha_{ij}$) $_{i,j=1,...,n}\in \cal M$$_k$(n). On appelle trace de M et on note tr(M) la somme des éléments diagonaux de M: :

\begin{displaymath}tr(M)=\displaystyle{\sum_{i=1}^n \alpha_{ii}}.\end{displaymath}



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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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