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Opération sur les lignes et les colonnes d'une matrice

Définition Soit M une matrice de $\cal M$$_k$(n,m). Notons L$_1$,...L$_n$ les lignes et C$_1$,...C$_m$ les colonnes de M. Soit $\lambda \in$k. Soient i, j$\in$${\mathbb{N}}$.On apelle:

  • opération élémentaire sur les lignes de M, l'action qui consiste à additionner la ligne $\lambda$L$_j$ à une ligne L$_i$ de M.
  • opération élémentaire sur les colonnes de M, l'action qui consiste à additionner la colonne $\lambda$C$_j$ à une colonne C$_i$ de M.
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Voici quelques matrices particulières ( Id désigne la matrice identitée de $\cal M$$_n$(k) :

Définition Soit (E$_{ij}$) $_{i,j=1,...,n}$ les matrices de $\cal M$$_n$(k) dont les coefficients sont tous nuls sauf celui à l'intersection de la ième ligne et de la jième colonne. (E$_{ij}$) forme une base de $\cal M$$_n$(k). Soient i,j $\in \{1,...,n\}$. Soit $\lambda \in$k$^{*}$.

  • Supposons que i$\neq$j. On appelle matrice de transvection, la matrice T$_{ij}$($\lambda$)=Id+$\lambda$E$_{ij}$.
  • On appelle matrice de dilatation, la matrice D$_i$($\lambda$) qui est diagonale et dont les coefficients diagonaux sont tous égaux à 1 sauf le ième qui vaut $\lambda$.
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Proposition Les matrices de transvection et les matrices de dilatation sont des matrices inversibles d'inverse respectivement une matrice de transvection et une matrice de dilatation.

Démonstration L'inverse de la matrice D$_i$($\lambda$) est donnée par la matrice D$_i$($\lambda^{-1}$). L'inverse de la matrice T$_{ij}$($\lambda$)=Id+$\lambda$E$_{ij}$ est donnée par la matrice T$_{ij}$(-$\lambda$). (Un simple calcul permet de s'en convaincre.

Proposition Soit M un élément de $\cal M$$_n$(k). Soient i,j $\in \{1,...,n\}$. Soit $\lambda \in$k$^{*}$. Soit aussi T$_{ij}$ une matrice de transvection et D$_i$ une matrice de dilatation.

  • La matrice M.T$_{ij}$($\lambda$) s'obtient en remplaçant dans M la jième colonne C$_j$ par C$_j$+$\lambda$C$_i$.
  • La matrice T$_{ij}$($\lambda$).M s'obtient en remplaçant dans M la ième ligne L$_i$ par L$_i$+$\lambda$L$_j$.
  • La matrice M.D$_i$($\lambda$) s'obtient en remplaçant dans M la ième colonne C$_i$ par $\lambda$C$_i$.
  • La matrice M.D$_i$($\lambda$) s'obtient en remplaçant dans M la ième ligne L$_i$ par $\lambda$L$_i$.
$ $

Démonstration Il suffit de calculer les différents produits considérés.

Théorème Le groupe linéaire $\cal G$l$_n$(k) est engendré par les matrices de dilatation et les matrices de transvection. ( Toute matrice inversible s'écrit comme un produit de matrice de transvection et de dilatation ).

Démonstration Nous allons montrer par récurrence sur n que toutes matrices de $\cal G$l$_n$(k) s'écrit sous la forme DT$_1$...T$_m$ où D est une matrice de dilatation et où les T$_i$ sont des matrices de transvection. Si n=1, les matrices de dilatation à elles seules engendrent $\cal G$l$_n$(k). Supposons que les matrices de $\cal G$l$_{n-1}$(k) peuvent être misent sous la forme DT$_1$...T$_m$ et montrons que ce résultat est encore vrai au rang n. Soit M une matrice de $\cal G$l$_n$(k). Soit $\cal A$ le sous ensemble de $\cal G$l$_n$(k) composé des matrices de la forme MT$_1$...T$_m$ où les T$_I$ sont des matrices de transvection. Si cet ensemble possède une matrice de dilatation D alors le résultat est démontré. Car on aura D=MT$_1$...T$_m$ les matrices de transvection étant inversible d'inverse une matrice de transvection, en multipliant à droite par T$_m$$^{-1}$...T$_1$$^{-1}$, on obtient, M=DT$_m$$^{-1}$...T$_1$$^{-1}$ qui est l'écriture de M voulue.
Montrons donc que $\cal A$ possède une matrice de dilatation. Posons M=($\alpha_{ij}$) $_{i,j=1,...,n}$. Si la première ligne de M était nulle, alors le noyau de M ( M vue comme un endomorphisme de k$^{n}$ ) serait non réduit à 0 car l'image du vecteur de coordonnées (1,0,...,0) serait 0. M ne serait alors pas de rang n et donc pas inversible. La première ligne de M possède donc au moins un coefficient $\alpha_{1j}\neq$0. La matrice M' obtenue en remplaçant à la 1ère colonne C$_1$ de M par la colonne C$_1$- $\frac{1-\alpha_{11}}{\alpha_{1j}}$C$_j$ où C$_j$ représente la jième colonne de M est élément de $\cal A$ car une telle opération sur M revient à multiplier M à gauche par une matrice de transvection. Notons M'=($\alpha'_{ij}$) $_{i,j=1,...,n}$. On a: $\alpha'_{11}$=1. Ajoutons, pour tout j=1,...,n, à la jième colonne de M', la colonne: $-\alpha_{1j}$C'$_1$ où C'$_1$ désigne la 1ère colonne de M'. Ces n-1 opérations reviennent à multiplier M à gauche par une transvection. La matrice obtenue au finale est encore un élément de A que nous noterons M''. M'' a tout ses coefficients sur la première ligne nuls sauf le premier qui vaut 1. Intéressons nous maintenant à la sous matrice carrée Q de M''=($\alpha''_{ij}$) $_{i,j=1,...,n}$ de coefficients Q=($\alpha''_{ij}$) $_{i,j=2,...,n}$
Comme M'' est une matrice inversible ses vecteurs colonnes forment un système libre dans k$^{n}$. Il en est alors de même pour les vecteurs colonnes V$_i$ i=2,...,n de Q. Ces n-1 vecteurs forment un système libre dans k$^{n-1}$. Comme ce dernier est de dimension n-1, ces n-1 vecteurs forment une base de k$^{n-1}$. Le vecteur colonne V de coefficients ($\alpha''_{21}$,....,$\alpha''_{n1}$) est alors combinaison linéaire de ces n-1 vecteurs. Il existe donc des scalaires a$_2$,...,a$_n$ tel que V= $\displaystyle{\sum_{i=2}^n a_i V_i}$. A la première colonne de M'' et pour tout j=2,...,n, ajoutons la jième colonne de M'' multipliée par -a$_j$. On obtient alors une nouvelle matrice N qui a pour première colonne le vecteur de coordonnées (1,0,...,0) ( et pour première ligne (1,0,...,0)):


\begin{displaymath}N=\left(
\begin{array}{ccccc}
1&0&\cdots&0\\
0&&&\\
\vdots&&P&\\
0&&&\\
\end{array}\right)\end{displaymath}

Cette nouvelle matrice est elle aussi obtenue à partie de M par multiplication à gauche par des transvections. N est donc encore élément de $\cal A$.
Posons N=($\beta_{ij}$) $_{i,j=1,...,n}$. Ces coefficients vérifient $\beta_{1i}$=0 et $\beta_{i1}$=0 pour i=2,...,n, $\beta_{11}$=1. Soit P=($\beta_{ij}$) $_{i,j=2,...,n}$. Comme N est inversible, il en est de même de P qui est par conséquent élément de $\cal G$l$_{n-1}$(k). Appliquons l'hypothèse de récurrence à P, P=D'T'$_1$...T'$_m$ où D est une matrice de dilatation et où les matrices T$_i$ sont des matrices de transvections éléments de $\cal G$l$_{n-1}$(k). Soit D la matrice diagonale dont la diagonale est formée du coefficient 1 puis des coefficients de la diagonale de D'. D est une dilatation de $\cal G$l$_{n-1}$(k). Soit, pour tout i=1,...,m, T$_i$ la matrice diagonale par bloc dont le premier bloc est la matrice 1$\times$1 d'unique coefficient 1 et le second bloc la matrice T'$_i$:


\begin{displaymath}T_i=\left(
\begin{array}{cc}
1&0\\
0&T'_i\\
\end{array}\right)\end{displaymath}

Les matrices T$_i$ sont des transvections. De plus N=DT$_1$...T$_m$. Donc D=NT$_m$$^{-1}$...T$_1$$^{-1}$. Comme N est élément de N, il en est de même de D et c'est précisément ce qu'il fallait démontrer.

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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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