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Etude de l'espace vectoriel k$^{n}$

Voici un exemple à la fois simple et fondamental d'espace vectoriel: la multiplication dans le corps k peut être vue comme une loi externe sur k$\times$k dans k. L'addition dans k est une loi interne. k muni de ces deux lois est un k-espace vectoriel:

Proposition Soit k un corps. Une loi interne est définie sur k par l'addition de k. On peut voir la multiplication sur k comme une loi externe de k$\times$k dans k. k muni de ces deux lois est un k-espace vectoriel de dimension 1.

Démonstration On vérifie sans problème les axiomes définissant un espace vectoriel. De plus si on considère l'élément 1 de k. Alors tout élément x de k s'écrit x=x.1. L'élément 1 engendre k sur lui même. Une famille constituée d'un unique élément non nul est libre. $\lbrace$1$\rbrace$ définit donc une base de k. k est alors bien de dimension 1 sur lui même.

Rappelons que k$^{n}$ est l'ensemble des n-uplets ($\alpha_1$,....,$\alpha_n$) où $\alpha_i$ parcourt k. Nous allons définir une addition et une loi externe sur k$^{n}$ et ainsi en faire un k-espace vectoriel de dimension n. L'intérêt d'une telle construction est justifiée par la proposition: Si n est un entier positif, tout les k-espaces vectoriels de dimension n sont isomorphes. Par conséquent, tout k-espace vectoriel de dimension n est isomorphe à k$^{n}$. k$^{n}$ nous servira donc d'espace vectoriel de dimension n canonique.

Soient (x$_1$,...,x$_n$) et (y$_1$,...,y$_n$) deux éléments de k$^{n}$. Soit $\lambda$ un scalaire de k. On définit l'addition par: (x$_1$,...,x$_n$) + (y$_1$,...,y$_n$) = (x$_1$+y$_1$,...,x$_n$+y$_n$) et la multiplication par un scalaire par: $\lambda$(x$_1$,...,x$_n$)=($\lambda$.x$_1$,...,$\lambda$.x$_n$). Alors:

Proposition k$^{n}$ muni de ces deux lois a une structure de k espace vectoriel.

Démonstration Exercice!.

Définition - Proposition Considérons pour tout i=1,...,n le vecteur e$_i$=(0,0,...,0,1,0,...,0) de k$^{n}$. Ce vecteur a toutes ses coordonnées nulles sauf la ième qui vaut 1. La suite de vecteurs (e$_i$)$_{i=1,...,n}$ est une base de k$^{n}$ appelée base canonique de k$^{n}$.

Démonstration Considérons un élément x=(x$_1$,...,x$_n$) de k$^{n}$. Il est facile de voir que

\begin{displaymath}x=\displaystyle{\sum_{i=1}^n x_i e_i}.\end{displaymath}

La famille (e$_i$)$_{i=1,...,n}$ est donc génératrice. De plus si ($\lambda_i$)$_{i=1,...,n}$ est une famille de n scalaires de k, l'égalité $\displaystyle{\sum_{i=1}^n \lambda_i e_i}=0$ donne ($\lambda_1$,...,$\lambda_n$)=0. Soit $\forall$i=1,...,n, $\lambda_i$=0. La famille (e$_i$)$_{i=1,...,n}$ est donc libre et génératrice dans k$^{n}$. C'est bien une base de k$^{n}$.

Un corollaire immédiat:

Corollaire L'espace vectoriel k$^{n}$ est de dimension n sur k.

Proposition fondamentale Si E est un k-espace vectoriel de dimension n alors E est isomorphe à k$^{n}$. De plus si on se fixe une base (v$_i$)$_{i=1,...,n}$ dans E, cet isomorphisme peut être donné par l'application qui à un vecteur de E associe le n-uplet de ses coordonnées.

Démonstration Soit f l'application définie dans la propriété. f est bien une application de E dans k$^{n}$. On vérifie sans problème que f est linéaire. Soit x dans E tel que f(x)=0. Alors les coordonnées de x dans la base (v$_i$)$_{i=1,...,n}$ sont toutes nulles et par conséquent x est le vecteur nul de E. Le noyau de f se réduit donc à $\lbrace$0$\rbrace$. f est alors injective. Mais comme E et k$^{n}$ ont même dimension, f est un isomorphisme de E dans k$^{n}$.


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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