Voici un exemple à la fois simple et fondamental d'espace vectoriel: la multiplication dans le corps k peut être vue comme une loi externe sur kk dans k. L'addition dans k est une loi interne. k muni de ces deux lois est un k-espace vectoriel:
Proposition Soit k un corps. Une loi interne est définie sur k par l'addition de k. On peut voir la multiplication sur k comme une loi externe de kk dans k. k muni de ces deux lois est un k-espace vectoriel de dimension 1.
Démonstration On vérifie sans problème les axiomes définissant un espace vectoriel. De plus si on considère l'élément 1 de k. Alors tout élément x de k s'écrit x=x.1. L'élément 1 engendre k sur lui même. Une famille constituée d'un unique élément non nul est libre. 1 définit donc une base de k. k est alors bien de dimension 1 sur lui même.
Rappelons que k est l'ensemble des n-uplets (,....,) où parcourt k. Nous allons définir une addition et une loi externe sur k et ainsi en faire un k-espace vectoriel de dimension n. L'intérêt d'une telle construction est justifiée par la proposition: Si n est un entier positif, tout les k-espaces vectoriels de dimension n sont isomorphes. Par conséquent, tout k-espace vectoriel de dimension n est isomorphe à k. k nous servira donc d'espace vectoriel de dimension n canonique.
Soient (x,...,x) et (y,...,y) deux éléments de k. Soit un scalaire de k. On définit l'addition par: (x,...,x) + (y,...,y) = (x+y,...,x+y) et la multiplication par un scalaire par: (x,...,x)=(.x,...,.x). Alors:
Proposition k muni de ces deux lois a une structure de k espace vectoriel.
Démonstration Exercice!.
Définition - Proposition Considérons pour tout i=1,...,n le vecteur e=(0,0,...,0,1,0,...,0) de k. Ce vecteur a toutes ses coordonnées nulles sauf la ième qui vaut 1. La suite de vecteurs (e) est une base de k appelée base canonique de k.
Démonstration Considérons un élément x=(x,...,x) de k. Il est facile de voir que
La famille (e) est donc génératrice. De plus si () est une famille de n scalaires de k, l'égalité
donne (,...,)=0. Soit i=1,...,n, =0. La famille (e) est donc libre et génératrice dans k. C'est bien une base de k.
Un corollaire immédiat:
Corollaire L'espace vectoriel k est de dimension n sur k.
Proposition fondamentale Si E est un k-espace vectoriel de dimension n alors E est isomorphe à k. De plus si on se fixe une base (v) dans E, cet isomorphisme peut être donné par l'application qui à un vecteur de E associe le n-uplet de ses coordonnées.
Démonstration Soit f l'application définie dans la propriété. f est bien une application de E dans k. On vérifie sans problème que f est linéaire. Soit x dans E tel que f(x)=0. Alors les coordonnées de x dans la base (v) sont toutes nulles et par conséquent x est le vecteur nul de E. Le noyau de f se réduit donc à 0. f est alors injective. Mais comme E et k ont même dimension, f est un isomorphisme de E dans k.