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Etude de l'espace vectoriel k

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Etude de l'espace vectoriel k $^{n}$

Voici un exemple à la fois simple et fondamental d'espace vectoriel: la multiplication dans le corps k peut être vue comme une loi externe sur k $\times$ k dans k. L'addition dans k est une loi interne. k muni de ces deux lois est un k-espace vectoriel:

Proposition Soit k un corps. Une loi interne est définie sur k par l'addition de k. On peut voir la multiplication sur k comme une loi externe de k $\times$ k dans k. k muni de ces deux lois est un k-espace vectoriel de dimension 1.

Démonstration On vérifie sans problème les axiomes définissant un espace vectoriel. De plus si on considère l'élément 1 de k. Alors tout élément x de k s'écrit x=x.1. L'élément 1 engendre k sur lui même. Une famille constituée d'un unique élément non nul est libre. $\lbrace$ 1 $\rbrace$ définit donc une base de k. k est alors bien de dimension 1 sur lui même.

Rappelons que k $^{n}$ est l'ensemble des n-uplets ( $\alpha_1$ ,...., $\alpha_n$ ) où $\alpha_i$ parcourt k. Nous allons définir une addition et une loi externe sur k $^{n}$ et ainsi en faire un k-espace vectoriel de dimension n. L'intérêt d'une telle construction est justifiée par la proposition: Si n est un entier positif, tout les k-espaces vectoriels de dimension n sont isomorphes. Par conséquent, tout k-espace vectoriel de dimension n est isomorphe à k $^{n}$ . k $^{n}$ nous servira donc d'espace vectoriel de dimension n canonique.

Soient (x,...,x) et (y,...,y) deux éléments de k $^{n}$ . Soit $\lambda$ un scalaire de k. On définit l'addition par: (x,...,x) + (y,...,y) = (x+y,...,x+y) et la multiplication par un scalaire par: $\lambda$ (x,...,x)=( $\lambda$ .x,..., $\lambda$ .x). Alors:

Proposition k $^{n}$ muni de ces deux lois a une structure de k espace vectoriel.

Démonstration Exercice!.

Définition - Proposition Considérons pour tout i=1,...,n le vecteur e=(0,0,...,0,1,0,...,0) de k $^{n}$ . Ce vecteur a toutes ses coordonnées nulles sauf la ième qui vaut 1. La suite de vecteurs (e) $_{i=1,...,n}$ est une base de k $^{n}$ appelée base canonique de k $^{n}$ .

Démonstration Considérons un élément x=(x,...,x) de k $^{n}$ . Il est facile de voir que

$\begin{displaymath}x=\displaystyle{\sum_{i=1}^n x_i e_i}.\end{displaymath}$

La famille (e

) $_{i=1,...,n}$ est donc génératrice. De plus si ( $\lambda_i$ ) $_{i=1,...,n}$ est une famille de n scalaires de k, l'égalité $\displaystyle{\sum_{i=1}^n \lambda_i e_i}=0$ donne ( $\lambda_1$ ,..., $\lambda_n$ )=0. Soit $\forall$ i=1,...,n, $\lambda_i$ =0. La famille (e

) $_{i=1,...,n}$ est donc libre et génératrice dans k $^{n}$ . C'est bien une base de k $^{n}$ .

Un corollaire immédiat:

Corollaire L'espace vectoriel k $^{n}$ est de dimension n sur k.

Proposition fondamentale Si E est un k-espace vectoriel de dimension n alors E est isomorphe à k $^{n}$ . De plus si on se fixe une base (v) $_{i=1,...,n}$ dans E, cet isomorphisme peut être donné par l'application qui à un vecteur de E associe le n-uplet de ses coordonnées.

Démonstration Soit f l'application définie dans la propriété. f est bien une application de E dans k $^{n}$ . On vérifie sans problème que f est linéaire. Soit x dans E tel que f(x)=0. Alors les coordonnées de x dans la base (v) $_{i=1,...,n}$ sont toutes nulles et par conséquent x est le vecteur nul de E. Le noyau de f se réduit donc à $\lbrace$ 0 $\rbrace$ . f est alors injective. Mais comme E et k $^{n}$ ont même dimension, f est un isomorphisme de E dans k $^{n}$ .