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Matrices

Les espaces vectoriels considérés dans cette partie sont tous de dimension finie sur un corps k donné.
Rappelons que la connaissance d'une application linéaire $\theta$ sur un espace vectoriel E est déterminée par les valeurs qu'elle prend sur une base de E. Ainsi si (e$_i$)$_{i=1,...,m}$ est une base de E, et si pour tout i=1,...,m, $\theta$(e$_i$) est connue, alors si $x=\displaystyle{\sum_{i=1}^m x_i e_i}$ est un vecteur de E, $\theta$(x) est donné par :

\begin{displaymath}\theta(x)=\displaystyle{\sum_{i=1}^m x_i \theta(e_i)}.\end{displaymath}


Nommons F l'espace vectoriel d'arrivée de l'application linéaire $\theta$. Supposons que F est de dimension n. On peut choisir une base (f$_i$)$_{i=1,...,n}$ de F. Il existe des coefficients $\lambda_{ij}$ pour i=1,...,m et j=1,...,n tels que pour tout i=1,...,m,

\begin{displaymath}\theta(e_i)=\displaystyle{\sum_{p=1}^n \lambda_{pi} f_p}.\end{displaymath}

On peut utiliser pour représenter $\theta$ le tableau à n lignes et m colonnes suivant, dont la ième colonne est donnée par les coordonnées du vecteur $\theta$(e$_i$) dans la base (e$_i$)$_{i=1,...,n}$.

\begin{displaymath}A=\left(
\begin{array}{ccccc}
\lambda_{11}&\lambda_{12}&\cdot...
...bda_{n1}&\lambda_{2n}&\cdots&\lambda_{nm}\\
\end{array}\right)\end{displaymath}


Définition Soit E un k-espace vectoriel de dimension m et F un k-espace vectoriel de dimension n. Soient e=(e$_i$)$_{i=1,...,m}$ une base de E et f=(f$_i$)$_{i=1,...,n}$ une base de F. Soit aussi $\theta$ une application linéaire de E dans F. Pour tout i=1,...,m, il existe n scalaires $\lambda_{ij}$ i=1,...,n de k vérifiant $\theta(e_j)=\displaystyle{\sum_{j=1}^n \lambda_{ij} f_j}$. On apelle matrice de $\theta$ dans les bases e de E et f de F le tableau noté M($\theta$,e,f) à n lignes et m colonnes constitué des scalaires $\lambda_{ij}$ de k:

\begin{displaymath}M(\theta,e,f)=\left(
\begin{array}{ccccc}
\lambda_{11}&\lambd...
...bda_{n1}&\lambda_{n2}&\cdots&\lambda_{nm}\\
\end{array}\right)\end{displaymath}

On dira aussi que M($\theta$,e,f) est la représentation matricielle de $\theta$ dans les bases e et f de E et F. On pourra noter cette matrice sous la forme condensée: M($\theta$,e,f) = ($\lambda_{ij}$) $_{i=1,...,n    j=1,...,m}$.
L'ensemble des matrices à n lignes et m colonnes sur le corps k est noté $\cal M$$_k$(n,m).

Remarquons que dans la définition précédente il est écrit la représentation matricielle de l'application g et non pas une représentation matricielle. La proposition qui suit justifie ce point lexicale:

Proposition Soient E et F deux k-espaces vectoriels. On suppose que E est de dimension m et que F est de dimension n. Soit e une base de E et f une base de F. Soit aussi g une application linéaire de E dans F. g possède une unique représentation matricielle M(g,e,f).

Démonstration C'est une conséquence directe de l'unicité de l'écriture d'un vecteur dans une base de l'espace auquel il appartient.


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Emmanuel_Vieillard-Baron_pour_les-mathematiques
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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