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Structure des ensembles de matrices

Commençons par étendre l'addition des applications linéaires à celle de leur matrices respectives dans des bases données.

Définition Soit k un corps et M,M' deux matrices de $\cal M$$_k$(n,m). On pose M = ($\lambda_{ij}$) $_{i=1,...,n    j=1,...,m}$ et M' = ($\lambda'_{ij}$) $_{i=1,...,n    j=1,...,m}$. Soit aussi $\alpha\in$k. On définit une loi interne + (addition) et une loi externe. (multiplication par un scalaire) sur $\cal M$$_k$(n,m) par: M+M'=( $\lambda_{ij}+\lambda'_{ij}$) $_{i=1,...,n    j=1,...,m}$ et $\alpha$.M=( $\alpha.\lambda_{ij}$) $_{i=1,...,n    j=1,...,m}$.

Définition La matrice nulle de $\cal M$$_k$(n,m) est la matrice dont tout les coefficients sont nuls. C'est le neutre de l'addition matricielle.

Proposition $\cal M$$_k$(n,m) muni de l'addition et de la multiplication par un scalaire précédemment définies a une structure de k-espace vectoriel.

Démonstration On vérifie sans problème les axiomes définissant un k-espace vectoriel.

Plus précisémment:

Proposition $\cal M$$_k$(n,m) est un k-espace vectoriel de dimension m$\times$n. La famille donnée par les m$\times$n matrices M$_{ij}$ dont les coefficients sont nuls partout sauf le coefficient se trouvant à l'intersection de la ième ligne et de la jième colonne et qui vaut 1 est une base de $\cal M$$_k$(n,m) que l'on appelle base canonique de $\cal M$$_k$(n,m).

Démonstration Démontrons que la famille précédente est libre. Soit $\lambda_{ij}$ i=1,...,n , j=1,...,m une famille de mn scalaires de k telle que $\displaystyle{\sum_{i=1}^n \sum_{i=1}^m M_{ij}}$=0. Le membre de gauche de cette égalité est égale à la matrice ($\lambda_{ij}$) $_{i=1,...,n    j=1,...,k}$ qui, toujours d'après cette égalité est égale à la matrice nulle. Ceci n'est possible que si les $\lambda_{ij}$ sont nuls pour tout i=1,...,n et j=1,...,m. La famille donnée par les mn matrices M$_{ij}$ est donc libre.
Elle est clairement génératrice car si M=($\lambda_{ij}$) $_{i=1,...,n    j=1,...,k}$ alors M= $\displaystyle{\sum_{i=1}^n \sum_{i=1}^m \lambda_{ij}M_{ij}}$.

Définition - Proposition Soient E et F deux k-espaces vectoriels. On suppose que E est de dimension m et que F est de dimension n. Soit e une base de E et f une base de F. Soit aussi $\theta$ et $\beta$ deux applications linéaires définies de E dans F. A ces deux applications linéaires, on fait correspondre leurs représentations matricielles respectives: M($\theta$,e,f) et M($\beta$,e,f). Alors M($\theta$,e,f)+M($\theta$,e,f)=M($\theta$+$\beta$,e,f) et r.M($\beta$,e,f)=M(r.$\beta$,e,f).

Démonstration Il suffit d'écrire...

Considérons maintenant trois k-espaces vectoriels E, F et G de dimensions respectives m, n et p. Considérons aussi une application linéaire f de E dans F et une application linéaire g de F dans G. Rappelons que la fonction h=g$\circ$f est une application linéaire de E dans G. Si on se donne des bases x de E, y de F et z de G, on aurra les représentations matricielles: M(f,x,y)=($\lambda_{ij}$) $_{i=1,...,n    j=1,...,m}$, M(g,y,z)=($\beta_{ij}$) $_{i=1,...,p    j=1,...,n}$ et M(g$\circ$f,x,z)=($\alpha_{ij}$) $_{i=1,...,p    j=1,...,m}$. Quel rapport existe t'il entre les coefficients de chacune de ces matrices?
Soit 1$\leq$s$\leq$m et x$_s$ un vecteur de la base x de E. Alors:

\begin{displaymath}f(x_s)=\displaystyle{\sum_{i=1}^n \lambda_{is} y_i}.\end{displaymath}

De même si 1$\leq$t$\leq$n et si y$_t$ est un vecteur de la base y de F,

\begin{displaymath}g(y_t)=\displaystyle{\sum_{j=1}^p \beta_{jt} z_j}.\end{displaymath}

On obtient:

\begin{displaymath}g\circ f(x_s) = g( \displaystyle{\sum_{i=1}^n \lambda_{is} y_i})\end{displaymath}


\begin{displaymath}= \displaystyle{\sum_{i=1}^n \lambda_{is} g(y_i)} = \displays...
...aystyle{\sum_{j=1}^p (\sum_{i=1}^n \beta_{ji}.\lambda_{is})z_j}\end{displaymath}


\begin{displaymath}=\displaystyle{\sum_{j=1}^p \alpha_{js} z_j}.\end{displaymath}

Conclusion:

\begin{displaymath}\alpha_{js}=\displaystyle{\sum_{i=1}^n \beta_{ji}.\lambda_{is}}.\end{displaymath}

On aboutit donc à la définition:

Définition Soit M$\in \cal M$$_k$(p,n) et soit N$\in \cal M$$_k$(n,m) tels que M=($\alpha_{ij}$) $_{i=1,...,p,j=1,...,n}$ et N=($\beta_{jl}$) $_{j=1,...,n,l=1,...,m}$. On apelle produit des deux matrices M et N la matrice notée M.N ou MN=($\gamma_{ij}$) $_{i=1,...,p,j=1,...,m}$ élément de $\cal M$$_k$(p,m) telle que

\begin{displaymath}\gamma_{ij}=\displaystyle{\sum_{l=1}^n \alpha_{il}\beta_{lj}.}\end{displaymath}


Proposition Soient E, F et G trois k-espaces vectoriels de dimension respective m,n et p. Soit f une application linéaire définie de E dans F et g une application linéaire définie de F dans G. On se fixe des bases $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ de E, F et G. Alors M(g$\circ$f,$\alpha$,$\gamma$)=M(g,$\beta$,$\gamma$). M(f,$\alpha$,$\beta$).

Démonstration C'est une conséquence immédiate de la définition du produit matriciel.

Remarquons, avant d'aller plus loin que pour deux matrices A et B, le produit A.B n'a un sens que si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B. On ne peut donc définir une multiplication sur $\cal M$$_k$(n,m) que si n=m, c'est à dire que si le nombre de ligne des matrices de $\cal M$$_k$(n,m) est égal à leur nombre de colonnes.

Définition Si une matrice a autant de ligne que de colonnes, on dit que c'est une matrice carrée. Le nombre de ligne ( ou de colonnes ) d'une matrice carrée est appelée son ordre.On notera $\cal M$$_k$(n) l'ensemble des matrices carrés d'ordre n et à coefficients dans k.

Compte tenu de la remarque précédente, des matrices carrées de même ordre sont multipliables entre elles. Intéressons nous à une matrice carrée particulière:

Définition La matrice unité de $\cal M$$_k$(n) est la matrice:

\begin{displaymath}M(g,e,f)=\left(
\begin{array}{ccccc}
1&0&\cdots&0\\
0&1&\vdo...
...dots&\vdots&\ddots&\vdots\\
0&0&\cdots&1\\
\end{array}\right)\end{displaymath}


On vérifie facilement que cette matrice est l'élément neutre de la multiplication matricielle dans $\cal M$$_k$(n). Ajoutons la proposition:

Définition Soit E un k-espace vectoriel de dimension n et soit e une base de E. Rappelons que l'application identique Id sur E est l'application qui à un élément x de E associe lui même. La matrice M(Id,e,e) est égale à la matrice unité.

Démonstration Il suffit de remarquer que pour tout vecteur e$_i$ i=1,...,n de la base e de E, Id(e$_i$)=e$_i$.

On peut enfin énoncer la propriété:

Proposition $\cal M$$_k$(n) muni de l'addition et de la multiplication des matrices précédemment définis a une structure d'anneau unitaire.

Démonstration C'est très facile à vérifier. L'unité de cet anneau est la matrice unité.

Cet anneau n'est de façon général pas commutatif. ( Voir l'article ``Construction de matrices réelles vérifiant AB=-BA''.


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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