Commençons par étendre l'addition des applications linéaires à celle de leur matrices respectives dans des bases données.
Définition Soit k un corps et M,M' deux matrices de (n,m). On pose M = ()
et M' = ()
. Soit aussi k. On définit une loi interne + (addition) et une loi externe. (multiplication par un scalaire) sur (n,m) par: M+M'=(
)
et .M=(
)
.
Définition La matrice nulle de (n,m) est la matrice dont tout les coefficients sont nuls. C'est le neutre de l'addition matricielle.
Proposition (n,m) muni de l'addition et de la multiplication par un scalaire précédemment définies a une structure de k-espace vectoriel.
Démonstration On vérifie sans problème les axiomes définissant un k-espace vectoriel.
Plus précisémment:
Proposition (n,m) est un k-espace vectoriel de dimension mn. La famille donnée par les mn matrices M dont les coefficients sont nuls partout sauf le coefficient se trouvant à l'intersection de la ième ligne et de la jième colonne et qui vaut 1 est une base de (n,m) que l'on appelle base canonique de (n,m).
Démonstration Démontrons que la famille précédente est libre. Soit i=1,...,n , j=1,...,m une famille de mn scalaires de k telle que
=0. Le membre de gauche de cette égalité est égale à la matrice ()
qui, toujours d'après cette égalité est égale à la matrice nulle. Ceci n'est possible que si les sont nuls pour tout i=1,...,n et j=1,...,m. La famille donnée par les mn matrices M est donc libre.
Elle est clairement génératrice car si M=()
alors M=
.
Définition - Proposition Soient E et F deux k-espaces vectoriels. On suppose que E est de dimension m et que F est de dimension n. Soit e une base de E et f une base de F. Soit aussi et deux applications linéaires définies de E dans F. A ces deux applications linéaires, on fait correspondre leurs représentations matricielles respectives: M(,e,f) et M(,e,f). Alors M(,e,f)+M(,e,f)=M(+,e,f) et r.M(,e,f)=M(r.,e,f).
Démonstration Il suffit d'écrire...
Considérons maintenant trois k-espaces vectoriels E, F et G de dimensions respectives m, n et p. Considérons aussi une application linéaire f de E dans F et une application linéaire g de F dans G. Rappelons que la fonction h=gf est une application linéaire de E dans G. Si on se donne des bases x de E, y de F et z de G, on aurra les représentations matricielles: M(f,x,y)=()
, M(g,y,z)=()
et M(gf,x,z)=()
. Quel rapport existe t'il entre les coefficients de chacune de ces matrices?
Soit 1sm et x un vecteur de la base x de E. Alors:
De même si 1tn et si y est un vecteur de la base y de F,
On obtient:
Conclusion:
On aboutit donc à la définition:
Définition Soit M(p,n) et soit N(n,m) tels que M=()
et N=()
. On apelle produit des deux matrices M et N la matrice notée M.N ou MN=()
élément de (p,m) telle que
Proposition Soient E, F et G trois k-espaces vectoriels de dimension respective m,n et p. Soit f une application linéaire définie de E dans F et g une application linéaire définie de F dans G. On se fixe des bases , , de E, F et G. Alors M(gf,,)=M(g,,). M(f,,).
Démonstration C'est une conséquence immédiate de la définition du produit matriciel.
Remarquons, avant d'aller plus loin que pour deux matrices A et B, le produit A.B n'a un sens que si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B. On ne peut donc définir une multiplication sur (n,m) que si n=m, c'est à dire que si le nombre de ligne des matrices de (n,m) est égal à leur nombre de colonnes.
Définition Si une matrice a autant de ligne que de colonnes, on dit que c'est une matrice carrée. Le nombre de ligne ( ou de colonnes ) d'une matrice carrée est appelée son ordre.On notera (n) l'ensemble des matrices carrés d'ordre n et à coefficients dans k.
Compte tenu de la remarque précédente, des matrices carrées de même ordre sont multipliables entre elles. Intéressons nous à une matrice carrée particulière:
Définition La matrice unité de (n) est la matrice:
On vérifie facilement que cette matrice est l'élément neutre de la multiplication matricielle dans (n). Ajoutons la proposition:
Définition Soit E un k-espace vectoriel de dimension n et soit e une base de E. Rappelons que l'application identique Id sur E est l'application qui à un élément x de E associe lui même. La matrice M(Id,e,e) est égale à la matrice unité.
Démonstration Il suffit de remarquer que pour tout vecteur e i=1,...,n de la base e de E, Id(e)=e.
On peut enfin énoncer la propriété:
Proposition (n) muni de l'addition et de la multiplication des matrices précédemment définis a une structure d'anneau unitaire.
Démonstration C'est très facile à vérifier. L'unité de cet anneau est la matrice unité.
Cet anneau n'est de façon général pas commutatif. ( Voir l'article ``Construction de matrices réelles vérifiant AB=-BA''.