Proposition Soit E et F deux k-espaces vectoriels de dimension respective m et n. Alors on a un isomorphisme d'espace vectoriel entre ((E,F),+,.) et ((n,m),+,.). En particulier dim (E,F)=m.n
Démonstration Choisissons une base e=(e,...,e) de E et une base e'=(e',...,e') de F. Considérons l'application (E,F)
(m,n) qui à une application linéaire f définie de E dans F associe sa représentation matricielle dans les bases e de E et e' de F: M(f,e,e'). Cette application est un homomorphisme du groupe ((E,F),+) dans le groupe ((m,n),+) car si f et g sont éléments de (E,F) alors M(f,e,e')+M(g,e,e') = M(f+g,e,e'). De plus, est injective: si (f)=0 où 0 désigne la matrice nulle de (m,n) alors cela implique que f(e)=0 i=1,...,m. f étant nulle sur une base de E, elle est nulle sur E. f est surjective: si M=()
(n) alors l'application linéaire définie par f(e)=
pour tout i=1,...,n a pour image m par . Enfin comme M(f,e,e') = M(f,e,e'), est un homomorphisme d'espace vectoriel. est donc bien un isomorphisme. Comme deux espaces vectoriels isomorphes ont même dimension , on en déduit la formule sur la dimension de (E,F).
Proposition Si E est un k-espace vectoriel de dimension n alors on a un isomorphisme d'anneaux unitaires entre ((E),+,) et ((n),+,.).
Démonstration Soit e une base de E. Considérons à nouveau l'application précédemment définie qui à un endomorphisme f associe sa représentation matricielle M(f,e,e). On vient de démontrer que est un isomorphisme du groupe ((E,E),+) sur le groupe ()(n),+).Si f, g sont des endomorphismes de E , les égalités M(fg,e,e) = M(f,e,e) . M(g,e,e) et
implique que est aussi un homomorphisme d'anneaux unitaires.
Remarquons que l'isomorphisme utilisé dans les deux démonstrations précédentes n'est pas canonique dans le sens où il n'est fixé que si des bases de E et F sont données.