$\cal M$ (n,m) et $\cal L$ (E,F)

Proposition Soit E et F deux k-espaces vectoriels de dimension respective m et n. Alors on a un isomorphisme d'espace vectoriel entre ( $\cal L$ (E,F),+,.) et ( $\cal M$ (n,m),+,.). En particulier dim $\cal L$ (E,F)=m.n

Démonstration Choisissons une base e=(e,...,e) de E et une base e'=(e',...,e') de F. Considérons l'application $\theta:\cal L$ (E,F) $\rightarrow \cal M$ (m,n) qui à une application linéaire f définie de E dans F associe sa représentation matricielle dans les bases e de E et e' de F: M(f,e,e'). Cette application est un homomorphisme du groupe ( $\cal L$ (E,F),+) dans le groupe ( $\cal M$ (m,n),+) car si f et g sont éléments de $\cal L$ (E,F) alors M(f,e,e')+M(g,e,e') = M(f+g,e,e'). De plus, $\theta$ est injective: si $\theta$ (f)=0 où 0 désigne la matrice nulle de $\cal M$ (m,n) alors cela implique que f(e)=0 $\forall$ i=1,...,m. f étant nulle sur une base de E, elle est nulle sur E. f est surjective: si M=( $\alpha_{ij}$ ) $_{i,j=1,...,n}\in \cal M$ (n) alors l'application linéaire définie par f(e)= $\displaystyle{\sum_{j=1}^n \alpha_{ij}}$ pour tout i=1,...,n a pour image m par $\theta$ . Enfin comme M( $\lambda$ f,e,e') = $\lambda$ M(f,e,e'), $\theta$ est un homomorphisme d'espace vectoriel. $\theta$ est donc bien un isomorphisme. Comme deux espaces vectoriels isomorphes ont même dimension , on en déduit la formule sur la dimension de $\cal L$ (E,F).

Proposition Si E est un k-espace vectoriel de dimension n alors on a un isomorphisme d'anneaux unitaires entre ( $\cal L$ (E),+, $\circ$ ) et ( $\cal M$ (n),+,.).

Démonstration Soit e une base de E. Considérons à nouveau l'application $\theta$ précédemment définie qui à un endomorphisme f associe sa représentation matricielle M(f,e,e). On vient de démontrer que $\theta$ est un isomorphisme du groupe ( $\cal L$ (E,E),+) sur le groupe ( $\cal M$ )(n),+).Si f, g sont des endomorphismes de E , les égalités M(f $\circ$ g,e,e) = M(f,e,e) . M(g,e,e) et

$\begin{displaymath}\theta(Id)=\left( \begin{array}{ccccc} 1&0&\cdots&0\\ 0&1&\v... ...dots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&1\\ \end{array}\right)\end{displaymath}$

implique que $\theta$ est aussi un homomorphisme d'anneaux unitaires.

Remarquons que l'isomorphisme $\theta$ utilisé dans les deux démonstrations précédentes n'est pas canonique dans le sens où il n'est fixé que si des bases de E et F sont données.