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Les matrices comme applications linéaires

Définition - Proposition Produit d'une matrice et d'un vecteur Soient E et F deux k-espaces vectoriels de dimensions respectives m et n. Choisossons e une base de E et e' une base de f. Soit f une application lineaire de E dans F. Soit aussi $x=\displaystyle{\sum_{i=1}^m x_i e_i}$. On peut représenter x par le vecteur colonne

\begin{displaymath}X=\left(
\begin{array}{ccccc}
x_1\\
\vdots\\
x_{m-1}\\
x_m\\
\end{array}\right)\end{displaymath}

Supposons que la matrice de f dans les bases e et e' de E s'écrive M(f,e,e')=($\lambda_{ij}$) $_{i=1,...,n,j=1,...,m}$. Alors le vecteur f(x) dans la base e' a pour coordonnées (y$_1$,....,y$_n$) où

\begin{displaymath}\left(
\begin{array}{ccccc}
y_1\\
\vdots\\
y_{n-1}\\
y_n\\...
...y}{ccccc}
x_1\\
\vdots\\
x_{m-1}\\
x_m\\
\end{array}\right)\end{displaymath}

$ $

Démonstration Une fois encore, il suffit d'écrire.

Proposition Soit M$\in \cal M$$_k$(m,n) alors M peut être vu, modulo la définition précédente, comme une application linéaire de k$^{m}$ dans k$^{n}$.

Démonstration Soit v et v' deux vecteurs colonnes de k$^{n}$. Alors, un petit calcul donne M($\alpha$v+$\alpha$'v')=$\alpha$Mv+$\alpha$'Mv', ce qui prouve la linéarité de M.

Cette proposition permet de redémontrer celles sur la structure de ($\cal M$$_k$(n,m),+,.) et de ($\cal M$$_k$(n),+,.). On a l'égalité $\cal M$$_k$(n,m)=$\cal L$(k$^{m}$,k$^{n}$). Ce dernier, muni de l'addition et de la multiplication par un scalaire habituelles, possède une structure de k-espace vectoriel. D'autre part, on se souvient que ($\cal L$(k$^{n}$),+,$\circ$) possède une structure d'anneau unitaire. Comme $\cal M$$_k$(n)=$\cal L$(k$^{n}$), il en est de même de $\cal M$$_k$(n).

Terminons par une définition qui permet de faire la transition avec le paragraphe suivant.

Définition Soit M une matrice de $\cal M$$_k$(m,n). On appelle rang de la matrice M le rang de M comme application linéaire de k$^{m}$ dans k$^{n}$.


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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