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Les matrices comme applications linéaires

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Les matrices comme applications linéaires

Définition - Proposition Produit d'une matrice et d'un vecteur Soient E et F deux k-espaces vectoriels de dimensions respectives m et n. Choisossons e une base de E et e' une base de f. Soit f une application lineaire de E dans F. Soit aussi $x=\displaystyle{\sum_{i=1}^m x_i e_i}$ . On peut représenter x par le vecteur colonne

$\begin{displaymath}X=\left( \begin{array}{ccccc} x_1\\ \vdots\\ x_{m-1}\\ x_m\\ \end{array}\right)\end{displaymath}$

Supposons que la matrice de f dans les bases e et e' de E s'écrive M(f,e,e')=( $\lambda_{ij}$ ) $_{i=1,...,n,j=1,...,m}$ . Alors le vecteur f(x) dans la base e' a pour coordonnées (y

,....,y

) où

$\begin{displaymath}\left( \begin{array}{ccccc} y_1\\ \vdots\\ y_{n-1}\\ y_n\\... ...y}{ccccc} x_1\\ \vdots\\ x_{m-1}\\ x_m\\ \end{array}\right)\end{displaymath}$

Démonstration Une fois encore, il suffit d'écrire.

Proposition Soit M $\in \cal M$ (m,n) alors M peut être vu, modulo la définition précédente, comme une application linéaire de k $^{m}$ dans k $^{n}$ .

Démonstration Soit v et v' deux vecteurs colonnes de k $^{n}$ . Alors, un petit calcul donne M( $\alpha$ v+ $\alpha$ 'v')= $\alpha$ Mv+ $\alpha$ 'Mv', ce qui prouve la linéarité de M.

Cette proposition permet de redémontrer celles sur la structure de ( $\cal M$ (n,m),+,.) et de ( $\cal M$ (n),+,.). On a l'égalité $\cal M$ (n,m)= $\cal L$ (k $^{m}$ ,k $^{n}$ ). Ce dernier, muni de l'addition et de la multiplication par un scalaire habituelles, possède une structure de k-espace vectoriel. D'autre part, on se souvient que ( $\cal L$ (k $^{n}$ ),+, $\circ$ ) possède une structure d'anneau unitaire. Comme $\cal M$ (n)= $\cal L$ (k $^{n}$ ), il en est de même de $\cal M$ (n).

Terminons par une définition qui permet de faire la transition avec le paragraphe suivant.

Définition Soit M une matrice de $\cal M$ (m,n). On appelle rang de la matrice M le rang de M comme application linéaire de k $^{m}$ dans k $^{n}$ .