Matrices inversibles - Groupe linéaire

Définition On dira qu'une matrice est inversible si elle est inversible comme élément de l'anneau ((n),+,.).

Remarquons qu'en raison de l'isomorphisme précédemment établi entre (n) et (E) ( si E est de dimension n), on a équivalence entre le fait que f(E) est un isomorphisme et le fait que la matrice représentant f dans une base de E est inversible.

Définition Le sous ensemble de (n) des matrices qui sont inversibles est appellé groupe linéaire et est noté l(k).

Remarquons que l(k) a une structure de groupe car c'est le sous ensemble des éléments inversibles d'un anneau unitaire..

Proposition Soit E un k espace vectoriel de dimension n. Les groupes l(k) et l(E) sont isomorphes.

Démonstration C'est une conséquence directe de l'isomorphisme entre les anneaux (n) et (E).

Terminons par un critère d'inversibilité des matrices.

Proposition Soit M une matrice de (n). M est inversible si et seulement si M est de rang n.

Démonstration Supposons que M est une matrice inversible. Alors M est inversible en tant qu'élément de l'anneau ((n),+,.). M peut être vu comme une application linéaire définie de k dans k. M étant inversible, elle possède une matrice inverse M qui peut être vu elle aussi comme une application de k dans lui même. M est donc un isomorphisme de k dans lui même ce qui nous assure que M est de rang n. Réciproquement Si M est de rang n, alors M en tant qu'application linéaire de k dans k est un endomorphisme de rang n. Les endomorphismes de rang n sont les isomorphismes, c'est à dire les endomorphismes inversibles. On a alors bien démontré notre propriété.