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Matrices inversibles - Groupe linéaire

Définition On dira qu'une matrice est inversible si elle est inversible comme élément de l'anneau ($\cal M$$_k$(n),+,.).

Remarquons qu'en raison de l'isomorphisme précédemment établi entre $\cal M$$_k$(n) et $\cal L$(E) ( si E est de dimension n), on a équivalence entre le fait que f$\in \cal L$(E) est un isomorphisme et le fait que la matrice représentant f dans une base de E est inversible.

Définition Le sous ensemble de $\cal M$$_k$(n) des matrices qui sont inversibles est appellé groupe linéaire et est noté $\cal G$l$_n$(k).

Remarquons que $\cal G$l$_n$(k) a une structure de groupe car c'est le sous ensemble des éléments inversibles d'un anneau unitaire..

Proposition Soit E un k espace vectoriel de dimension n. Les groupes $\cal G$l$_n$(k) et $\cal G$l(E) sont isomorphes.

Démonstration C'est une conséquence directe de l'isomorphisme entre les anneaux $\cal M$$_k$(n) et $\cal L$(E).

Terminons par un critère d'inversibilité des matrices.

Proposition Soit M une matrice de $\cal M$$_k$(n). M est inversible si et seulement si M est de rang n.

Démonstration Supposons que M est une matrice inversible. Alors M est inversible en tant qu'élément de l'anneau ($\cal M$$_k$(n),+,.). M peut être vu comme une application linéaire définie de k$^{n}$ dans k$^{n}$. M étant inversible, elle possède une matrice inverse M$^{-1}$ qui peut être vu elle aussi comme une application de k$^{n}$ dans lui même. M est donc un isomorphisme de k$^{n}$ dans lui même ce qui nous assure que M est de rang n. Réciproquement Si M est de rang n, alors M en tant qu'application linéaire de k$^{n}$ dans k$^{n}$ est un endomorphisme de rang n. Les endomorphismes de rang n sont les isomorphismes, c'est à dire les endomorphismes inversibles. On a alors bien démontré notre propriété.


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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