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Changement de base

On se pose le problème suivant: connaissant les coordonnées d'un vecteur dans une base donnée d'un espace vectoriel de dimension finie, comment trouver ses coordonnées dans une autre base de cet espace vectoriel.

Définition Soient E un k-espace vectoriel de dimension finie n et soient e et e' deux bases de E. On appelle matrice de changement de base de la base e vers la base e' la matrice dont la ième colonne est formée des coordonnées du vecteur e'$_i$ de la famille e' dans la base e. On notera cette matrice: M(e',e). Cette matrice s'appelle aussi matrice de passage de la base e à la base e'.

Proposition Soit E un k-espace vectoriel de dimension n. Soient e et e' deux bases de E. La matrice de changement de base de la base e à la base e' est inversible.

Démonstration M(e',e) est la représentation matricielle d'un endomorphisme de E qui envoie la base e sur la base e'. Par conséquent cet endomorphisme est un automorphisme et M(e',e) est inversible.

La proposition qui vient justifie le vocabulaire utilisé dans la définition.

Proposition Soit E un k-espace vectoriel de dimension n. Soient e et e' deux bases de E. Soit x un élément de e de vecteur coordonné X=(x$_1$,...,x$_n$) dans la base e et de vecteur coordonné X'=(x'$_1$,...,x'$_n$) dans la base e'. Alors si M(e',e) désigne la matrice de passage de la base e à la base e': X'=(M(e',e))$^{-1}$X.

Démonstration On a: x= $\displaystyle{\sum_{i=1}^n x_i e_i}$= $\displaystyle{\sum_{i=1}^n x'_i e'_i}$. Notons M(e',e)=($\alpha_{ij}$) $_{i,j=1,...,n}$=M. Le vecteur e$_i$ s'écrit donc: e'$_i$= $\displaystyle{\sum_{i=1}^n \alpha_{ij} e_i}$. Donc x= $\displaystyle{\sum_{j=1}^n x'_j \sum_{i=1}^n \alpha_{ij} e_i=\sum_{i=1}^n (\sum_{j=1}^n \alpha_{ij} x'j)e_i}=$. En identifiant cette dernière expression avec celle: x= $\displaystyle{\sum_{i=1}^n x_i e_i}$, on obtient $\forall i=1,...,n   x_i=\displaystyle{\sum_{i=1}^n \alpha_{ij}x'_j}$ Soit (x$_1$,...,x$_n$)=M(x'$_1$,...,x'$_n$). Ou encore (x'$_1$,...,x'$_n$)=M$^{-1}$(x$_1$,...,x$_n$).

Corollaire Si E est un k-espace vectoriel de dimension finie, que e et e' sont deux bases de E alors M(e,e').M(e',e)=Id$_E$. Autrement dit, la matrice de passage de la base e à la base e' est inversible d'inverse la matrice de passage de la base e' à la base e.

Démonstration Soit x un vecteur de E, X le vecteur colonne représentant x dans la base e et X' celui le représentant dans la base e'. Alors X'=(M(e',e))$^{-1}$X. Mais X=(M(e,e')$^{-1}$)X'. Donc X=(M(e,e'))$^{-1}$(M(e',e))$^{-1}$X. Cela étant vrai pour tout X de k$^{n}$, on en déduit (M(e,e'))$^{-1}$(M(e',e))$^{-1}$=Id$_E$, soit encore M(e,e')M(e',e)=Id$_E$.

Théorème Formule de changement de base Soit f une application linéaire entre un espace vectoriel E de dimension m et un espace vectoriel F de dimension n. Soient v,v' des bases de E, w,w' des bases de F. Soient encore M(f,v,w) la matrice de f dans les bases v de E, w de F et M(f,v',w') la matrice de f dans les bases v' de E, w' de F. Alors M(f,v',w')=M(w',w)M(f,v,w)M(v',v)$^{-1}$.

Démonstration Soit x un vecteur de E, X=(x$_1$,...,x$_m$) le vecteur coordonné qui représente x dans la base v, X'=(x'$_1$,...,x'$_m$) le vecteur coordonné qui représente x dans la base w. Soit y le vecteur de F image de x par f. y peut être représenté par le vecteur coordonné Y=(y$_1$,...,y$_n$) dans la base w de F et par le vecteur Y'=X=(y'$_1$,...,y'$_n$) dans la base w'. La proposition précédente amène les relations: Y' = (M(w',w))$^{-1}$Y et X' = (M(v',v))$^{-1}$X. De plus Y = M(f,w,v)X et Y' = M(f,w',v')X'. En utilisant cette deuxième égalité et les deux premières, on obtient: M(w',w)$^{-1}$Y = M(f,x',v')(M(v',v))$^{-1}$X. Soit encore: M(w',w)$^{-1}$M(f,w,v)X = M(f,x',v')(M(v',v))$^{-1}$X. Cette égalité est vraie pour tout X dans k$^{n}$. Donc (M(w',w)$^{-1}$)M(f,w,v) = M(f,x',v')(M(v',v))$^{-1}$. En multipliant à gauche pas M(v',v): (M(w',w))$^{-1}$M(f,w,v)M(v',v) = M(f,w',v').

Définition Soient M et M' deux matrices éléments de $\cal M$$_k$(n,m). M et M' sont dites équivalentes si il existe deux matrices P$\in\cal G$l$_n$(k) et Q de $\cal G$l$_m$(k) tels que M'=P.M.Q.

Définition Soient M et M' deux matrices éléments de $\cal M$$_k$(n). M et M' sont dites semblables si il existe une matrice P de $\cal G$l$_n$(k) tel que M'=P$^{-1}$.M.Q.

Proposition Soient E et F deux k-espaces vectoriels de dimension respective m et n et soit g une application linéaire de E dans F de rang r. Alors on peut trouver une base e de E et f de F tel que la matrice de g dans ces base soit égale à la matrice donnée par:

\begin{displaymath}U_r=\left(
\begin{array}{ccccccc}
 & & &0&\cdots&0\\
 &I...
...dots&\vdots\\
0&\cdots&\cdots&0&\cdots&0\\
\end{array}\right)\end{displaymath}

$I_r$ est la matrice unité de k$^{r}$. Réciproquement si g possède une telle représentation matricielle dans des bases e de E et f de F alors g est de rang r.

Démonstration Commençons par le sens direct. E peut être décomposé en la somme directe Ker g$\oplus$E$_1$ où E$_1$ est un sous espace supplémentaire à Ker g isomorphe au sous espace Im g. De même F peut être décomposé en la somme F=F$_1$$\oplus$Im g où F$_1$ est un sous espace de F supplémentaire à Im g. Soit donc e=(e$_1$,...,e$_r$) une base de E$_1$ que l'on complète par n-r vecteurs e$_{r+1}$,...,e$_n$ formant une base de Ker f pour former une base e=(e$_1$,...,e$_m$) de E . Comme g est de rang r, g envoie cette famille sur les vecteurs g(e$_1$),...,g(e$_r$) qui forment une base de Im f. Complétons cette base de Im f par des vecteurs f$_{r+1}$,...,f$_n$ de F$_1$ afin de former une base f de F. La matrice de F dans les bases e de E et f de F est exactement celle annoncée.
Pour la réciproque il suffit de remarquer que si g possède une telle représentation matricielle dans des bases e de E et f de F alors l'image de g est de dimension r et son rang est donc égal à r.

Corollaire Soient E et F deux k espaces vectoriels. Soient g et g' deux applications linéaires définies de E dans G. On a équivalence entre:

  • Le rang de g est égal au rang de g'.
  • Les matrices représentant g et g' dans des bases e de E et f de F' sont équivalentes.
$ $

Démonstration Supposons pour commencer que g et g' sont de rang égal. Désignons par r ce rang. D'après la proposition précédente, il existe des bases e,e' de E et des bases f,f' de F tels que M(g,e,f) et M(g',e',f') soient égales à la matrice $U_r$ mentionnée précédemment. Si on considère la matrice M(g',e,f) de g dans les bases e de E et f de F, utilisant la formule de changement de base, on a :(M(f',f))$^{-1}$M(g',e,f)M(e',e) = M(g',e',f') = $U_r$ = M(g,e,f). On a alors bien établis l'existence d'une base e de E et d'une base f de F telles que les matrices de g et g' dans ces bases soient équivalentes.
Réciproquement, si il existe une base e de E et une base f de F telles que les matrices M(g,e,f) et M(g',e,f) soient équivalentes, alors il existe des matrices P,Q de $\cal G$l$_n$(k) tels que M(g,e,f)=P.M(g',e,f).Q


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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