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Définitions

Si on considère un corps k, il est par définition muni d'une loi interne donnée par l'addition. La multiplication dans ce corps peut être vue comme une loi externe de k$\times$k dans k. Le corps k muni de cette loi interne et de cette loi externe a ainsi une structure de espace vectoriel sur lui même. Sa dimension sera évidemment égal à 1. Cette remarque donne un sens à la définition qui suit.

Définition Une forme linéaire sur un k-espace vectoriel E est une application linéaire de E dans le corps k. On note E$^{*}$ l'ensemble des formes linéaires sur E.

Proposition L'ensemble E$^{*}$ des formes linéaires définies sur le k-espace vectoriel E possède une structure d'espace vectoriel pour la loi interne donnée par l'addition des fonctions de E dans k et la loi externe donnée par la multiplication d'une fonction par un scalaire de k. E$^{*}$ est appelé espace vectoriel dual de l'espace vectoriel E.

Démonstration Rappelons que l'ensemble des fonctions linéaires $\cal L$(E,F) définies entre deux espaces vectoriels E et F possède une structure d'espace vectoriel pour les lois précédemment mentionnées. E$^{*}$ est en fait égal à $\cal L$(E,k), qui possède bien une structure d'espace vectoriel.

Notation Si f est un élément de E$^{*}$ et x un élément de E, on notera <f,x> la valeur de f prise en x. Cette notation, qui fait référence au produit scalaire, est ici utile car on s'occupera du sous ensemble de E$^{*}$ des formes linéaires sur E s'annulant que une partie F de E. Ce sous ensemble sera noté F$^{\circ}$ et sera appellée l'orthogonale de F. De la même façon, on étudiera l'orthogonale d'une partie U de E$^{*}$, et qui sera l'ensemble des éléments x de E dont l'image, par tout les éléments de U vaut 0. Attention cependant de ne pas confondre ce qui n'est qu'une notation avec le réel produit scalaire.

Définition Soit E un k-espace vectoriel et F un sous espace vectoriel de E. On appelle orthogonal de E et on note F$^{\circ}$ l'ensemble des formes linéaires sur E qui s'annulent sur F.

\begin{displaymath}F^{\circ}=\{ f\in E^* ; \forall x\in F   <f,x>=0\}.\end{displaymath}


Proposition Si F1 et F2 sont deux sous espaces vectoriels de l'espace vectoriel E tels que F1$\subset$F2 alors F2$^{\circ}$$\subset$F1$^{\circ}$.

Démonstration C'est évident: Si f est une forme linéaire définie sur E qui s'annule sur F2 alors, comme F1 est une partie de F2, elle s'annule sur F1. D'où l'inclusion indiquée.

Proposition Soit E un k-espace vectoriel et F une sous partie de E. Alors F$^{\circ}$=(Vect F)$^{\circ}$.

Démonstration Comme F$\subset$Vect F, il est clair que (Vect F)$^{\circ}$$\subset$F$^{\circ}$. Si u est élément de F$^{\circ}$, alors u s'annule sur tout élément de F, et comme u est linéaire, elle s'annule sur toutes combinaisons linéaires d'éléments de F. u s'annule donc sur Vect F et est élément de (Vect F)$^{\circ}$. Ce qui prouve l'inclusion réciproque.

Proposition Soit E un k-espace vectoriel et F un sous espace vectoriel de E. Notons i l'application d'inclusion de F dans E: i:F$\rightarrow$E, x$\in$F$\rightarrow$i(x)=x. Remarquons que toute forme linéaire sur E définie, par restriction de cette application à F, une forme linéaire sur F. Notons $^{t}$i l'application de E$^{*}$ dans F$^{*}$ qui a une forme linéaire définie sur E associe sa restriction à F. Remarquons que si f$\in$E$^{*}$ alors $^{t}$i(f)=f$\circ$i. De plus $^{t}$i est une application linéaire surjective et Ker $^{t}$i=F$^\circ$.

Démonstration On vérifie sans peine que $^{t}$i est linéaire de E$^{*}$ dans F$^{*}$. De plus: f$\in$ Ker $^{t}$i $\Leftrightarrow$ f$\circ$i=0 $\Leftrightarrow$ $\forall$x$\in$F, f(x)=0 $\Leftrightarrow$ f$\in$F$^{\circ}$. Ce qui prouve que Ker $^{t}$i=F$^{\circ}$. Vérifions aussi la surjectivité. Soit f$\in$F$^{*}$ et soit F' un supplémentaire de F dans E. Tout élément x de E possède une décomposition de la forme x=x$_1$+x$_2$ avec x$_1$$\in$F et x$_2\in$F'. Définissons l'application : $\tilde{f}$ par: $\tilde{f}$(x)=f(x$_1$). On vérifie sans peine que $\tilde{f}$ est bien définie, que c'est une forme linéaire sur E et donc un élément de E$^{*}$, et que $^{t}$i($\tilde{f}$)=f.

Définition Soit E et F deux k-espaces vectoriel.Soit $\Phi \in \cal L$(E,F). On appelle application transposée de l'application $\Phi$ et on note $^{t}$$\Phi$ l'application: $^{t}$$\Phi$:F$^{*}$$\rightarrow$E$^{*}$ qui à f$\in$F$^{*}$ associe la forme linéaire sur E $^{t}$$\Phi$(f)=f$\circ \Phi$.

Définition Soit E un k espace vectoriel et soit U une partie de E$^{*}$. On appelle orthogonal de U et on note U$^{\perp}$ la sous partie de E donnée par:

\begin{displaymath}U^{\perp}=\{ x\in E /\forall x\in U,  <u,x>=0 \}.\end{displaymath}


Proposition Soit E un k-espace vectoriel.

  • Si U est une partie de E$^{*}$: U$^{\perp}$=(Vect(U))$^{\perp}$.
  • Si F$_1$ et F$_2$ sont deux sous ensembles de E$^{*}$ tels que F$_1\subset$F $_2 \Rightarrow$ F $_2^\perp\subset$F$_1^\perp$.
  • Si U est un sous espace vectoriel de E$^{*}$ alors F$^{\perp}$= $\displaystyle{\bigcap_{u\in F} Ker    u}$.

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Démonstration Contentons nous de prouver le troisième point. Les démonstrations des points 1 et 2 sont exactement les mêmes que celles faites précédemment. Prenons donc un sous espace vectoriel F de E$^{*}$. Soit aussi u$\in$F. Pour tout x dans F$^{\perp}$, <u,x>=0. Donc x$\in$ker u et F$^{\perp}$ $\subset \displaystyle{\bigcap_{u\in F} Ker   u}$. Maintenant si x est un élément de cette intersection, alors pour tout u$\in$F, <u,x>=0 et donc x$\in$F$^{\perp}$, ce qui pouve l'inclusion inverse.

Proposition Soit E un k-espace vectoriel et soit F une sous partie de E. Alors:

  1. F$\subset$F $^{\circ \perp}$.
  2. F$^{\circ}$=F $^{\circ\perp\circ}$.
$ $

Démonstration

  1. Commençons par le premier point: Soit x un élément de F. Pour tout f de F$^{\circ}$, f(x)=0, ce qui implique que F$\subset$F $^{\circ \perp}$.
  2. Pour le second point: l'inclusion précédente permet d'obtenir: F $^{\circ\perp\circ}$$\subset$F$^{\circ}$. De plus, si f$\in$F$^{\circ}$, pour tout x$\in$F$^{\circ \perp}$, <f,x>=0. Ce qui nous assure de l'inclusion réciproque.
$ $

Proposition Soit E un k-espace vectoriel et soit f une forme linéaire non nulle sur E. Alors: Codim Ker f=1.

Démonstration Comme f est non nulle, elle est surjective et son image est égale à k tout entier. Mais le théorème d'isomorphie pour les applications linéaires permet d'affirmer que E/Ker f$\simeq$Im f. Par conséquent, comme tout supplémentaire de Ker f dans E est isomorphe à E/Ker f, tout supplémentaire de Ker f dans E est de dimension 1. Ce qui veut exactement dire que Ker f est de codimension 1.


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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