Dans tout ce paragraphe, E est un sous espace vectoriel de dimension quelconque.
Proposition Soit E un k-espace vectoriel.
Le noyau d'une forme linéaire non nulle sur E est un hyperplan de E. Deux formes proportionnelles ont un noyau égal au même hyperplan.
Réciproquement si H est un hyperplan de E, il existe une forme linéaire non nulle ayant H comme noyau. De plus, toute forme linéaire non nulle ayant H comme noyau est proportionelle à f.
Démonstration
Si fE, et si xEKer f, pour tout xE, on a la décomposition
Remarquons que =0 et que . Cette décompositon définie deux sous espaces en somme directe dans E: E
et E le sous espace engendré par x. On montre facilement que E=Ker f. Ker f est donc de codimension 1 et définie un hyperplan de E. Enfin si f' est une seconde forme proportionnelle à f, il est clair que ces deux formes ont même noyau.
Soit H un hyperplan de E. Soit x un vecteur de EH. E peut être décomposé sous la forme E=H<x> et pour tout xE, il existe xH et
k uniques tels que x=x+x. Posons, pour tout x de E, f(x)=. On vérifie sans problème que f est bien définie et qu'elle est linéaire de E dans k. De plus, son noyau est exactement égal à H. Soit g une autre forme linéaire ayant H comme noyau. Utilisant la décomposition de E=H<x> précédente, pour tout x de E, x=x+x et g(x)=g(x)=g(x)/f(x).f(x). f et g sont donc bien proportionnelles.