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Formes linéaires et hyperplans

Dans tout ce paragraphe, E est un sous espace vectoriel de dimension quelconque.

Proposition Soit E un k-espace vectoriel.

  • Le noyau d'une forme linéaire non nulle sur E est un hyperplan de E. Deux formes proportionnelles ont un noyau égal au même hyperplan.
  • Réciproquement si H est un hyperplan de E, il existe une forme linéaire non nulle ayant H comme noyau. De plus, toute forme linéaire non nulle ayant H comme noyau est proportionelle à f.
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Démonstration

  • Si f$\in$E$^{*}$, et si x$_0\in$E$\setminus$Ker f, pour tout x$\in$E, on a la décomposition

    \begin{displaymath}x=(x-\frac{f(x)}{f(x_0)}x_0)+\frac{f(x)}{f(x_0)}x_0=x_1+x_2.\end{displaymath}

    Remarquons que $f(x_1)$=0 et que $f(x_2)=f(x)$. Cette décompositon définie deux sous espaces en somme directe dans E: E $_1=\{ x-\frac{f(x)}{f(x_0)}x_0; \forall x\in E\}$ et E$_2$ le sous espace engendré par x$_0$. On montre facilement que E$_2$=Ker f. Ker f est donc de codimension 1 et définie un hyperplan de E. Enfin si f' est une seconde forme proportionnelle à f, il est clair que ces deux formes ont même noyau.
  • Soit H un hyperplan de E. Soit x$_0$ un vecteur de E$\setminus$H. E peut être décomposé sous la forme E=H$\oplus$<x$_0$> et pour tout x$\in$E, il existe x$_H \in$H et $\lambda(x) \in$k uniques tels que x=x$_H$+$\lambda(x)$x$_0$. Posons, pour tout x de E, f(x)=$\lambda(x)$. On vérifie sans problème que f est bien définie et qu'elle est linéaire de E dans k. De plus, son noyau est exactement égal à H. Soit g une autre forme linéaire ayant H comme noyau. Utilisant la décomposition de E=H$\oplus$<x$_0$> précédente, pour tout x de E, x=x$_H$+$\lambda(x)$x$_0$ et g(x)=$\lambda(x)$g(x$_0$)=g(x$_0$)/f(x$_0$).f(x). f et g sont donc bien proportionnelles.
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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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