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Quelques relations et un théorème

Proposition Soient A et B deux sous espace vectoriel de E:

  1. (A+B)$^{\circ}$=A$^{\circ}$$\cap$B$^{\circ}$.
  2. (A$\cap$B)$^{\circ}$=A$^{\circ}$+B$^{\circ}$.
$ $

Démonstration

  1. Si f$\in$(A+B)$^{\circ}$ alors pour tout x de A et tout y de B, f(x+y)=0. En particulier, A et B étant des sous espaces vectoriel de E, ils contiennent 0 et on peut déduire de l'égalité précédente les deux égalités: f(x+0)=0 et f(0+y)=0. Ce qui prouve que f est élément de A$^{\circ}$ et de B$^{\circ}$ et donc de l'intersection de ces deux ensembles.
    Si f est élément de A$^{\circ}$$\cap$B$^{\circ}$ alors f s'annule sur A et sur B. Ce qui implique que f s'annule sur A+B et prouve l'inclusion réciproque.

  2. Soit f$\in$A$^{\circ}$+B$^{\circ}$. f peut alors s'écrire sous la forme f=f$_1$+f$_2$ avec f$_1\in$A$^{\circ}$ et f$_2\in$B$^{\circ}$. Si x$\in$A$\cap$B alors nécessairement f(x)=0 et donc A$^{\circ}$+B$^{\circ}$$\subset$(A$\cap$B)$^{\circ}$.
    Pour montrer la seconde inclusion, décomposons A$_1$ et B$_1$ sous la forme A=A$_1 \oplus$A$\cap$B et B=B$_1 \oplus$A$\cap$B. E possède alors un sous espace C tel que E=A$\cap$B$\oplus$A$_1 \oplus$B$_1 \oplus$C. Un élément f de E$^{*}$ peut s'écrire sous la forme matricielle f=(g f$_1$ f$_2$ h) où g$\in$(A$\cap$B)$^{*}$, f$_1\in$A$_1$$^{*}$, f$_2\in$B$_1$$^{*}$, h$\in$C$^{*}$. Ainsi si f est élément de (A$\cap$B)$^{\circ}$, f possède une écriture de la forme (0 f$_1$ f$_2$ h)=(0 f$_1$ 0 0)+(0 0 f$_2$ h). Mais (0 f$_1$ 0 0)$\in$B$^{\circ}$ et (0 0 f$_2$ h)$\in$A$^{\circ}$. Ce qui prouve que (A$\cap$B)$^{\circ}$$\subset$A$^{\circ}$+B$^{\circ}$.

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Proposition Soient E et F deux k-espace vectoriels. Si $\Phi \in \cal L$(E,F):

  1. (Im $\Phi$)$^{\circ}$=Ker $^{t}$$\Phi$.
  2. (Ker $\Phi$)$^{\circ}$=Im $^{t}$$\Phi$.
$ $

Démonstration

  1. Si f$\in$(Im $\Phi$)$^{\circ}$ $\Leftrightarrow$ $\forall x \in$E, f$\circ \Phi$(x)=0 $\Leftrightarrow$ f$\in$Ker $^{t}$$\Phi$.

  2. Si f est élément de Im $^{t}$$\Phi$ alors il existe g$\in$F$^{*}$ tel que f=g$\circ \Phi$. Si x$\in$Ker $\Phi$, f(x)=g$\circ \Phi$(x)=0. Donc f$\in$(Ker $\Phi$)$^{\circ}$ et Im $^{t}$$\Phi \subset$ (Ker $\Phi$)$^{\circ}$.
    L'inclusion difficile à montrer est la suivante: (Ker $\Phi$)$^{\circ}$$\subset$Im $^{t}$$\Phi$. Notons E$_1$=Ker $\Phi$ et F$_1$=Im $\Phi$. On trouve des supplémentaires E$_2$,F$_2$ de, respectivement E$_1$ et F$_1$ dans E et F: E=E$_1 \oplus$E$_2$ et F=F$_1 \oplus$F$_2$. $\Phi$ peut être représentée par la matrice:

    \begin{displaymath}\Phi=\begin{tabular}{cc}
\begin{tabular}{cc} $F_1$&$F_2$\ \e...
...egin{tabular}{c} $E_1$\ $E_2$\ \end{tabular}\\
\end{tabular}\end{displaymath}

    $\theta$:E$_2\rightarrow$F$_1$ est un isomorphisme car E$_2\simeq$F/Ker $\Phi\simeq$Im $\Phi$. Soit u$\in$E$^{*}$. u peut être représentée par la matrice (u$_1$,u$_2$) où u$_1\in$E$_1$$^{*}$ et où u$_2\in$E$_2$$^{*}$. Remarquons de plus que si v$\in$F$^{*}$ alors v peut être représentée par la matrice v=(v$_1$,v$_2$) avec v$_1\in$F$_1$$^{*}$ et v$_2\in$F$_2$$^{*}$. Supposons que u=(u$_1$,u$_2$) soit élément de (Ker $\Phi$)$^{\circ}$=E$_1$$^{\circ}$. Alors u$_1$=0 et prenant un élément v$_2$ quelconque dans F$_2$$^{*}$

    \begin{displaymath}u=(0,u_2)=(\theta^{-1}u_2,v_2)\left(\begin{tabular}{cc} 0&$\theta$\ 0&0\ \end{tabular}\right)=v\circ\Phi.\end{displaymath}

    Et donc u est dans l'image de $^{t}$$\Phi$.

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Théorème Soit (f$_1$,...,f$_n$) une famille de n formes linéaires sur E. Posons pour tout i=1,...,n H$_i$=Ker f$_i$. E$^{*}$ étant un espace vectoriel, la famille (f$_1$,...,f$_n$) peut être vue comme un ensemble de n vecteurs de E$^{*}$. On a alors les deux propriétés suivantes:

  1. Le rang de ce système de vecteur est égale à la codimension de $\displaystyle{\bigcap_{i=1}^n Ker   f_i}$.
  2. f$\in$<f$_1$,...,f$_n$> $\Leftrightarrow$H$_1\cap$...$\cap$H$_k\subset$Ker f.
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Démonstration Remarquons pour commencer que H$_1\cap$...$\cap$H$_k$ est un sous espace vectoriel de E car intersection de sous espace vectoriel de E. Soit F un supplémentaire de ce sous espace vectoriel dans E. Il existe donc un isomorphisme entre F et E/H$_1\cap$...$\cap$H$_k$. Si f$\in$E$^{*}$, notons f' la restriction de f à F. On a vu déjà que si i désigne l'inclusion de F dans E, f'$\circ$i=f.Soit $^{t}$i:E$^{/*}$$\rightarrow$F$^{*}$ f$\rightarrow$ $^{t}$(f)=f'. On sait que $^{t}$i est linéaire. Donc E$^{*}$/ker $^{t}$i$\simeq$Im $^{t}$i. Ce qui s'écrit encore, $^{t}$i étant surjective, F$^{*}$=E$^{*}$/Ker $^{t}$i. Mais on a démontré précédemment que Im $^{t}$i=(Ker i)$^{\circ}$=(H$_1\cap$...$\cap$H$_k$)$^{\circ}$. On a alors prouvé l'isomorphisme (H$_1\cap$...$\cap$H$_k$)$^{\circ}$$\simeq$F$^{*}$. Mais (H$_1\cap$...$\cap$H$_k$)$^{\circ}$=H$_1$+...+H$_k$=Vect(f$_1$,...,f$_k$). Ce qui démontre le théorème.


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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