Définition Soit E un k-espace vecotoriel. Soit E le dual de E. On apelle bidual de E l'espace vectoriel dual de E. On note E cet espace vectoriel.
Proposition Considérons l'application: i:EE qui à xE associe l'application i(x):Ek telle que si E, i(x)()=f(x). i est bien définie, est linéaire et injective. Identifiant E à l'image de i dans E, on dira que E est inclu dans son bidual.
Démonstration On vérifie sans problème que i est bien définie et linéaire. De plus si xE est tel que E i(x)()=0 alors E, (x)=0 et forcément x=0. Donc Ker i=
et i est injective.
La question corollaire de cette proposition est biensûr: pour quelles conditions i est surjective ? Dans le cas où i est surjective, on aurra exhiber un isomorphisme entre E et son bidual E. Remarquons que cet isomorphisme est définie de façon indépendante d'une base sur E ou E. i est par conséquent, sous réserve de conditions assurant de sa surjectivité, un isomorphisme canonique entre E et E. Voyons ces conditions:
Proposition Soit E un k-espace vectoriel. E est isomorphe à son bidual E si et seulement si E est de dimension finie.
Démonstration Supposons que E est de dimension finie. E et son dual E ont par conséquent même dimension. E est donc, en particulier, aussi un k-espace vectoriel de dimension finie. Ré-appliquons ce qui vient d'être dit pour E à E: E et son dual E sont de même dimension. Conclusion: E et E ont même dimension. i est alors nécessairement surjective ( formule du rang ) et définie bien un isomorphisme de E dans son bidual.
Supposons maintenant que E n'est pas de dimension finie. Il existe alors une famille libre dénombrable (e) de vecteurs de E ( I désigne un ensemble dénombrable). Considérons F le sous espace vectoriel engendré par cette famille. Considérons aussi un supplémentaire G de ce sous espace vectoriel. On a: E=FG. Pour tout x vecteur de E, il existe une famille () de scalaire de k à support finie et un vecteur gG tels que
Considérons les formes linéaires e de E définie par E de la forme précédente, e(x)=<e,x>=. On vérifie facilement que la famille (e) est libre dans E. Considérons la aussi le sous espace vectoriel F' de E engendré par cette famille ainsi qu'un supplémentaire G' de F': E=F'G'. Pour tout E, il existe une famille à support fini () de scalaires de k ainsi qu'un élément g'G' tels que
Pour tout x==
, i(x):Ek est telle que l'ensemble des iI / i(x)(e)0 est de cardinal fini. L'image de i est donc incluse dans l'ensemble noté des formes linéaires définies de E dans k et telles que iI / (e)0 soit de cardinal fini. Considérons :Ek définie par, si
E
On vérifie que est bien définie et linéaire. est donc élément de E. Cependant n'est pas dans l'ensemble car I,
. Donc n'est pas dans l'image de i et i n'est pas surjective. E et E ne sont alors pas isomorphes.
le dual de E. On apelle bidual de E l'espace vectoriel
cet espace vectoriel.
E
E associe l'application i(x):E
E
)=f(x). i est bien définie, est linéaire et injective. Identifiant E à l'image de i dans E
E
et i est injective.
)
de vecteurs de E ( I désigne un ensemble dénombrable). Considérons F le sous espace vectoriel engendré par cette famille. Considérons aussi un supplémentaire G
G. Pour tout x vecteur de E, il existe une famille (
)
de E
E de la forme précédente, e
)
, i(x):E
0 est de cardinal fini. L'image de i est donc incluse dans l'ensemble noté 
des formes linéaires 
définies de E
i
soit de cardinal fini. Considérons 
E
I,
. Donc 
