Certains ensembles mathématiques sont en interaction avec d'autres. Par exemple l'ensemble des symétries d'un cube est en interaction avec l'ensemble des sommets de ce cube: chaque symétrie du cube a pour effet de permuter les sommets du cube. L'ensemble des isométries de l'espace affine est en interaction avec l'ensemble des points de cet espace: à tout couple formé par une isométrie et un point x de l'espace, on peut associer le point image de l'isométrie au point x. La théorie des actions de groupe est née du besoin de formaliser et d'étudier ces interactions. Ces actions de groupes permettront aussi, couplées avec la notion de relation d'équivalence, de réunir des objets d'un ensemble suivant certaines caractéristiques ou qualités. Là encore nous disposerons d'un moyen de fabriquer de nouveaux ensembles mathématiques. Le champ d'intervention des actions de groupe se situe au niveau des mathématiques toutes entières.
