Dans tout le paragraphe qui vient, X désignera un ensemble et (G,.) un groupe. On notera e le neutre de G.
Définition On dira que le groupe G agit (ou opère) sur l'ensemble X si il existe une application
telle que:
Pour tout x dans X, (e,x)=x.
Pour tout g1,g2 G, (g1,(g2,x))=(g1.g2,x).
On dira aussi que définit une action de G sur X.
Remarque Afin de simplifier les notations, et quand aucune confusion n'est à craindre, on écrira, si gG et xX (g,x)=g.x .
Définition Soit une action de G sur X. On dira que l'action est fidèle si vérifie:
g.x=x alors g=e.
Définition On dira que l'action de G sur X est transitive si
.
Définition Soit xX et soit une action de G sur X.
On appelle stabilisateur de x et on note stab(x) le sous ensemble de G donné par stab(x)=
.
On appelle orbite de x et on note w(x) le sous ensemble de X donné par
.
Définition Si g est élément de G et que est une action de G sur X, on appelle fixateur de g et on note fix(g) ou X le sous ensemble de X donné par fix(g)=
. De même si K est une partie de G, on notera X l'ensemble des xX tels que
.