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Définition

Dans tout le paragraphe qui vient, X désignera un ensemble et (G,.) un groupe. On notera e le neutre de G.

Définition On dira que le groupe G agit (ou opère) sur l'ensemble X si il existe une application $\theta:G\times X \longrightarrow X$ telle que:

  • Pour tout x dans X, $\theta$(e,x)=x.
  • Pour tout g1,g2$\in$ G, $\theta$(g1,$\theta$(g2,x))=$\theta$(g1.g2,x).
On dira aussi que $\theta$ définit une action de G sur X.

Remarque Afin de simplifier les notations, et quand aucune confusion n'est à craindre, on écrira, si g$\in$G et x$\in$X $\theta$(g,x)=g.x .

Définition Soit $\theta$ une action de G sur X. On dira que l'action est fidèle si $\theta$ vérifie: $\forall x\in X$ g.x=x alors g=e.

Définition On dira que l'action $\theta$ de G sur X est transitive si $\forall x,y\in X \exists g \in G / g.x=y$.

Définition Soit x$\in$X et soit $\theta$ une action de G sur X.

  • On appelle stabilisateur de x et on note stab(x) le sous ensemble de G donné par stab(x)= $\lbrace g \in G / g.x=x \rbrace$.

  • On appelle orbite de x et on note w(x) le sous ensemble de X donné par $\lbrace g.x / g\in G \rbrace$.

$ $

Définition Si g est élément de G et que $\theta$ est une action de G sur X, on appelle fixateur de g et on note fix(g) ou X$^g$ le sous ensemble de X donné par fix(g)= $\lbrace x \in X g.x=x \rbrace$. De même si K est une partie de G, on notera X$^K$ l'ensemble des x$\in$X tels que $\forall g \in K g.x=x$.


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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