Dans tout ce paragraphe on s'intéresse à un groupe G agissant sur un ensemble X via une action .
Proposition La relation sur X définie par : si x, y X,x y
y w(x) est une relation d'équivalence sur X.
Démonstration Comme d'habitude réflexitivité, symétrie, transitivité...
Remarque Les actions de groupes nous permettront donc de partitionner des ensembles suivant des classes d'équivalence.
Proposition Si x est élément de X alors Stab(x) est un sous groupe de G.
Démonstration Remarquons que e est toujours élément de stab(x). Remarquons aussi que si gStab(x) alors x=e.x=(g.g).x=(g.(g.x))=g.x. Donc g est élément de Stab(x). Soient maintenant g,g'Stab(x), alors on vérifie facilement que g.g' Stab(x).
Proposition Si x et y X sont éléments d'une même orbite alors stab(x) et stab(y) sont des sous groupes conjugués de G.
Démonstration Comme x et y sont dans une même orbite, il existe hG tel que h.x=y. Mais alors si gStab(x), h.g.hStab(y): h.g.h.y=h.g.x=h.x=y. Donc h . Stab(x) . h
Stab(y). On montrerait de même que h.Stab(y).hStab(x), Ce qui nous prouve que h.Stab(x).h=Stab(y) et que ces deux sous groupes sont conjugués.
Proposition Soit xX. On a une bijection entre G/stab(x) et w(x).
Démonstration Afin de le démontrer cela nous allons définir une application G/Stab(x)
w(x) par : si
G/Stab(x) alors (x)=g.x.
Montrons que est bien définie: si g et g' sont des représentants de
alors il existe hStab(x) tel que g'=g.h. Donc g'.x=g.h.x=g.x. ne dépend donc pas du représentant de
choisie et est donc bien définie.
Montrons que est injective: Si g.x=g'.y alors g'.g est élément de Stab(x). Autrement dit
et
. est donc injective.
est surjective: Si yw(x) alors par définition de w(x), il existe gG tel que g.x=y. Donc (g)=y.
La proposition est maintenant démontrée.
Corollaire Si G est fini,
=. (Si A est un ensemble |A| désigne le cardinal de A).
Démonstration C'est immédiat par application du théorème de Lagrange.
Proposition On suppose que G est fini. Soit
un sous ensemble d'éléments de X tel que
est une partition de X. Alors
Théorème Formule de la moyenne On suppose G de cardinal fini et agissant sur un ensemble X. Alors si n désigne le nombre d'orbites distinctes de l'action,si désigne le sous ensemble de X composé d'un représentant pour chacune de ces orbites, on a:
Démonstration Considérons un sous ensemble de X comme dans l'énoncé du théorème. Nous allons nous intéresser à l'ensemble GX, et plus précisément au sous ensemble de ce dernier définit par
. On a
Ceci nous donne:
On a aussi:
Mais pour tout xX, |stab(x)|.|w(x)|=|G|. Donc
En divisant par |G| les deux membres de notre égalité, on obtient la formule voulue.