Définition On considère une relation sur un ensemble X. On dira que est une relation d'équivalence si pour tout x,y et z de X elle vérifie:
est réflexive: x x.
est symétrique: x y
y x.
est transitive: si x y et que y z alors x z.
Exemple "être égal à" est une relation d'équivalence (sur n'importe quel ensemble X).
Exemple Sur
, on considère la relation x y
x-y est pair où x et y désignent des éléments quelconques de
. ainsi définie
est une relation d'équivalence (le vérifier!!).
Définition Soit X un ensemble muni d'une relation d'équivalence . Soit aussi x un élément de X. On appellera classe d'équivalence de x suivant
l'ensemble
. Un élément y d'une classe d'équivalence sera appelé un représentant de la classe
d'équivalence.
Exemple Pour X=
et avec la relation d'équivalence définie dans l'exemple précédent, la classe d'équivalence de 2 est, comme annoncé dans
l'introduction, l'ensemble des nombres pairs. La classe d'équivalence de 1 est l'ensemble des nombres impairs. Remarquons de plus que ces deux
classes d'équivalence partitionnent
.
Proposition Une classe d'équivalence n'est jamais vide (!!).
Proposition Si des éléments x et y de X sont dans une même classe d'équivalence alors leurs classes d'équivalences sont identiques.
Exemple Dans l'exemple précédent, la relation d'équivalence choisie nous fournie exactement deux classes d'équivalence sur
. Tout élément de
a sa
classe d'équivalence égale à une de ces deux là.
Proposition fondamentale L'ensemble des classes d'équivalence d'un ensemble X pour une relation d'équivalence donnée définie une partition de
X.
Démonstration D'une part, tout élément de X est élément d'une classe d'équivalence de la relation . Au pire, cet élément constitue à lui seul une classe
d'équivalence. D'autre part, si deux classes d'équivalence s'intersectaient en un ensemble non vide, alors de part la transitivité de la relation
d'équivalence , ceci impliquerait qu'elles seraient en fait égales. L'ensemble des classes d'équivalence d'une relation sur X définit ainsi
bien une partition de X.
suivant:Ensemble quotient monter:Relations d'équivalence précédent:Introduction
E_Vieillard-Baron