Vocabulaire

Définition On considère une relation $\cal R$ sur un ensemble X. On dira que est une relation d'équivalence si pour tout x,y et z de X elle vérifie:

$\cal R$ est réflexive: x $\cal R$ x.
$\cal R$ est symétrique: x $\cal R$ y $\Leftrightarrow$ y $\cal R$ x.
$\cal R$ est transitive: si x $\cal R$ y et que y $\cal R$ z alors x $\cal R$ z.

Exemple "être égal à" est une relation d'équivalence (sur n'importe quel ensemble X).
Exemple Sur ${\mathbb{Z}}$ , on considère la relation x $\cal R$ y $\Leftrightarrow$ x-y est pair où x et y désignent des éléments quelconques de ${\mathbb{Z}}$ . $\cal R$ ainsi définie est une relation d'équivalence (le vérifier!!).
Définition Soit X un ensemble muni d'une relation d'équivalence $\cal R$ . Soit aussi x un élément de X. On appellera classe d'équivalence de x suivant $\cal R$ l'ensemble $\lbrace y\in X ; y {\cal R} x \rbrace$ . Un élément y d'une classe d'équivalence sera appelé un représentant de la classe d'équivalence.
Exemple Pour X= ${\mathbb{Z}}$ et avec la relation d'équivalence définie dans l'exemple précédent, la classe d'équivalence de 2 est, comme annoncé dans l'introduction, l'ensemble des nombres pairs. La classe d'équivalence de 1 est l'ensemble des nombres impairs. Remarquons de plus que ces deux classes d'équivalence partitionnent ${\mathbb{Z}}$ .
Proposition Une classe d'équivalence n'est jamais vide (!!).
Proposition Si des éléments x et y de X sont dans une même classe d'équivalence alors leurs classes d'équivalences sont identiques.
Exemple Dans l'exemple précédent, la relation d'équivalence choisie nous fournie exactement deux classes d'équivalence sur ${\mathbb{Z}}$ . Tout élément de ${\mathbb{Z}}$ a sa classe d'équivalence égale à une de ces deux là.
Proposition fondamentale L'ensemble des classes d'équivalence d'un ensemble X pour une relation d'équivalence donnée $\cal R$ définie une partition de X.
Démonstration D'une part, tout élément de X est élément d'une classe d'équivalence de la relation $\cal R$ . Au pire, cet élément constitue à lui seul une classe d'équivalence. D'autre part, si deux classes d'équivalence s'intersectaient en un ensemble non vide, alors de part la transitivité

de la relation d'équivalence $\cal R$ , ceci impliquerait qu'elles seraient en fait égales. L'ensemble des classes d'équivalence d'une relation $\cal R$ sur X définit ainsi bien une partition de X.