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Vocabulaire

Définition On considère une relation $\cal R $sur un ensemble X. On dira que est une relation d'équivalence si pour tout x,y et z de X elle vérifie:
  • $\cal R $est réflexive: x $\cal R $x.
  • $\cal R $est symétrique: x $\cal R $y $\Leftrightarrow$ y $\cal R $x.
  • $\cal R $est transitive: si x $\cal R $y et que y $\cal R $z alors x $\cal R $z.
Exemple "être égal à" est une relation d'équivalence (sur n'importe quel ensemble X).
Exemple Sur $ {\mathbb{Z}}$, on considère la relation x $\cal R $y $\Leftrightarrow$ x-y est pair où x et y désignent des éléments quelconques de $ {\mathbb{Z}}$. $\cal R $ainsi définie est une relation d'équivalence (le vérifier!!).
Définition Soit X un ensemble muni d'une relation d'équivalence $\cal R $. Soit aussi x un élément de X. On appellera classe d'équivalence de x suivant $\cal R $ l'ensemble $\lbrace y\in X ;  y {\cal R} x \rbrace$. Un élément y d'une classe d'équivalence sera appelé un représentant de la classe d'équivalence.
Exemple Pour X= $ {\mathbb{Z}}$et avec la relation d'équivalence définie dans l'exemple précédent, la classe d'équivalence de 2 est, comme annoncé dans l'introduction, l'ensemble des nombres pairs. La classe d'équivalence de 1 est l'ensemble des nombres impairs. Remarquons de plus que ces deux classes d'équivalence partitionnent $ {\mathbb{Z}}$.
Proposition Une classe d'équivalence n'est jamais vide (!!).
Proposition Si des éléments x et y de X sont dans une même classe d'équivalence alors leurs classes d'équivalences sont identiques.
Exemple Dans l'exemple précédent, la relation d'équivalence choisie nous fournie exactement deux classes d'équivalence sur $ {\mathbb{Z}}$. Tout élément de $ {\mathbb{Z}}$a sa classe d'équivalence égale à une de ces deux là.
Proposition fondamentale L'ensemble des classes d'équivalence d'un ensemble X pour une relation d'équivalence donnée $\cal R $définie une partition de X.
Démonstration D'une part, tout élément de X est élément d'une classe d'équivalence de la relation $\cal R $. Au pire, cet élément constitue à lui seul une classe d'équivalence. D'autre part, si deux classes d'équivalence s'intersectaient en un ensemble non vide, alors de part la transitivité de la relation d'équivalence $\cal R $, ceci impliquerait qu'elles seraient en fait égales. L'ensemble des classes d'équivalence d'une relation $\cal R $sur X définit ainsi bien une partition de X.

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E_Vieillard-Baron
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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