Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
210 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 
Vocabulaire next up previous
suivant: Sous groupe d'un groupe monter: Groupes précédent: Introduction

Vocabulaire

Définition On appelle loi interne sur G une application de G$\times$G $\longrightarrow$G.
Remarque Par abus de language, plutôt que de parler de loi interne sur G, on parlera de loi sur G.
Définition fondamentale Soit $\perp$ (prononcer antitruc) une loi sur G.
On dira que la loi $\perp$ définie une structure de groupe sur G si:
  • $\perp$ est associative, c.a.d si x,y,z sont éléments de G alors $(x\perp y)\perp z=x\perp(y\perp z)$.
  • Il existe un élément neutre e pour $\perp$ dans G, c.a.d il existe $e \in G$ tel que $\forall x \in G x \perp e= e \perp x=x$.
  • Tout élément x de G possède un inverse dans G pour $\perp$, c.a.d $\forall x \in G \;\exists y \in G   ;   x \perp y=y \perp x=e$. On notera, par analogie avec les notations habituelles pour les nombres réels, $x^{-1}$ l'inverse de x.
On notera (G,$\perp$) le groupe G muni de la loi $\perp$. $\;$
Proposition Soit G un groupe pour la loi $\perp$ et soit e un élément neutre de G.
  1. l'élément neutre de G est unique.
  2. $e^{-1}=e$.
  3. Tout élément x de G possède un unique inverse.
$ $
Démonstration
  1. Supposons que G possède deux éléments neutres e et e'. Alors, par définition de l'élément neutre d'un groupe, $e \perp e'=e' \perp e=e=e'$
  2. Remarquons que, par définition de e, $e\perp e=e$ et donc que e est égal à son propre inverse.
  3. Soient $x_1$ et $x_2$ des inverses de x dans G pour $\perp$. Alors par définition de l'inverse d'un élément de G ainsi que du neutre de G, $x_1=x_1 \perp e=x_1 \perp (x\perp x_2)=(x_1 \perp x)\perp x_2=e\perp x_2=x_2$.
$ $
Exemple ( $ {\mathbb{Z}}$,+), ( $ {\mathbb{Q}}$,+) , ( $ {\mathbb{R}}$*,.) sont des groupes.
Définition On dira que le groupe (G,$\perp$) est abélien si la loi $\perp$ est commutative, c.a.d pour tout x et y dans G: $x \perp y= y\perp %
x$.


next up previous
suivant: Sous groupe d'un groupe monter: Groupes précédent: Introduction
E_Vieillard-Baron
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page