Soit (G,) un groupe. Notons e le neutre de G.
Définition Soit H un sous ensemble de G. On dit que (H,) est un sous groupe de G si la restriction de la loi de G à H définit une
structure de groupe sur H.
Proposition On a équivalence entre:
(H,) est un sous groupe de G.
e est élément de H et pour tout x et y dans H
est élément de H.
Démonstration Si H est un sous groupe de G, il est clair que la seconde partie de la proposition est validée.
Supposons donc maintenant cette deuxième partie validée et montrons que (H,) a une structure de groupe. Remarquons pour commencer que comme
est élément de H pour tout élément x et y de H, on peut affirmer que la restriction de sur H définit une loi interne sur H.
Remarquons ensuite que comme e est élément de H, possède un élément neutre dans H. De plus, si y est élément de H alors comme e est élément
de H,
est élément de H et donc y possède un inverse dans H. L'associativité de la loi restreinte à H provient de
l'associativité de sur G. (H,) a donc bien une structure de groupe.
Remarque Ce critère sera très pratique pour vérifier que des ensembles munis d'une loi interne sont bien des groupes. En effet, on cherchera à montrer
qu'ils sont des sous groupes d'un groupe plus grand. Il n'y aura alors que deux propriétés à vérifier à la place de 4.
Exemple (
,+) est un sous groupe de (
,+).
Exemple (
,+) est un sous groupe de (
,+).