On considère dans ce paragraphe deux groupes (G,) et (H,). On note et les neutres respectifs de G et H. ( se
prononce truc).
Définition On dit qu'une application
est un homomorphisme de groupe si:
.
Si x et y sont éléments de G,
.
De plus:
Si G=H, nous dirons que est un endomorphisme.
Si est bijective, nous dirons que f est un isomorphisme. Si il existe un isomorphisme entre G et H, nous dirons que G et H sont
isomorphes et nous noterons GH.
Si est à la fois un isomorphisme et un endomorphisme, nous dirons que est un automorphisme.
Remarque La notion d'isomorphisme joue en algèbre un rôle dual à celui des homéomorphismes en topologie ou des difféomorphismes en géométrie
différentielle. Des groupes qui seront isomorphes auront les mêmes propriétés algébriques. Ainsi, l'étude algébrique d'un groupe pourra se faire sur
n'importe quel groupe qui lui est isomorphe.
Proposition Soit x un élément de G,
.
Démonstration Choisissons x dans G. On a
et donc par définition de l'inverse d'un élément d'un groupe,
.
Définition Soit f un homomorphisme de G dans H. Nous noterons ou l'ensemble
. Cet ensemble s'appelle le
noyau de l'homomorphisme f.
Remarque En allemand, noyau se dit Kernel.
Remarque Le noyau d'un homomorphisme n'est jamais vide. En effet, le neutre du groupe de départ est toujours élément du noyau.
Théorème Soit f un homomorphisme entre G et H. On a équivalence entre:
est injective.
est réduit à l'élément neutre de G.
Démonstration Si est injective, l'image du neutre de G par étant le neutre de H, aucun autre élément de G ne peut avoir comme image. ( Ou sinon
cela contredit l'injectivité de ). Donc le noyau de se réduit à
.
Si cette dernière propriété est vérifiée, prenons x et y dans G telles que . Alors étant un homomorphisme,
.
Donc
est élément de . Mais le noyau de étant réduit à
, cela implique que
et
donc que .
Proposition Soit
un homomorphisme . Alors:
Ker f est un sous groupe de G.
Im f (= l'image de f=
) est un sous groupe de H.
Démonstration Montrons que le noyau de est un sous groupe de G. est naturellement élément de Ker . Soient x et y des éléments de Ker . Alors
. Ceci prouve que
est élément de Ker .
Montrons maintenant que Im est un sous groupe de H. Remarquons que
et donc que est élément de Im . Soient encore et
des éléments de Im . Alors
est bien élément de Im .C.q.f.d.
Proposition L'application composée de deux homomorphismes est encore un homomorphisme.
Démonstration Triviale!!!
suivant:Notions supplémentaires sur les monter:Groupes précédent:Sous groupe d'un groupe
E_Vieillard-Baron
) et (H,
). On note 
et 
les neutres respectifs de G et H. (
est un homomorphisme de groupe si:
.
.
est un endomorphisme.
H.
.
et donc par définition de l'inverse d'un élément d'un groupe,
ou 
l'ensemble
. Cet ensemble s'appelle le
noyau de l'homomorphisme f.
comme image. ( Ou sinon
cela contredit l'injectivité de 
.
. Alors 
.
Donc
est élément de 
et
donc que 
.
) est un sous groupe de H
est naturellement élément de Ker 
. Ceci prouve que
et donc que 
et
des éléments de Im 
est bien élément de Im 
