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Homomorphisme de groupe

On considère dans ce paragraphe deux groupes (G,$\perp$) et (H,$\top$). On note $e_{G}$ et $e_{H}$ les neutres respectifs de G et H. ($\top$ se prononce truc).
Définition On dit qu'une application $f:G\longrightarrow H$ est un homomorphisme de groupe si:
  • $f(e_{G})=e_H$.
  • Si x et y sont éléments de G, $f(x \perp y)=f(x)\top f(y)$.
De plus:
  • Si G=H, nous dirons que $f$ est un endomorphisme.
  • Si $f$ est bijective, nous dirons que f est un isomorphisme. Si il existe un isomorphisme entre G et H, nous dirons que G et H sont isomorphes et nous noterons G$\simeq$H.
  • Si $f$ est à la fois un isomorphisme et un endomorphisme, nous dirons que $f$ est un automorphisme.
Remarque La notion d'isomorphisme joue en algèbre un rôle dual à celui des homéomorphismes en topologie ou des difféomorphismes en géométrie différentielle. Des groupes qui seront isomorphes auront les mêmes propriétés algébriques. Ainsi, l'étude algébrique d'un groupe pourra se faire sur n'importe quel groupe qui lui est isomorphe.
Proposition Soit x un élément de G, $f(x^{-1})=(f(x))^{-1}$.
Démonstration Choisissons x dans G. On a $e_H=f(e_G)=f(x \perp x^{-1})=f(x)\top f(x^{-1})$ et donc par définition de l'inverse d'un élément d'un groupe, $f(x^{-1})=(f(x))^{-1}$ .
Définition Soit f un homomorphisme de G dans H. Nous noterons $Ker f$ ou $Ker(f)$ l'ensemble $\lbrace x \in G   ;   f(x)=e_H\rbrace$. Cet ensemble s'appelle le noyau de l'homomorphisme f.
Remarque En allemand, noyau se dit Kernel.
Remarque Le noyau d'un homomorphisme n'est jamais vide. En effet, le neutre du groupe de départ est toujours élément du noyau.
Théorème Soit f un homomorphisme entre G et H. On a équivalence entre:
  • $f$ est injective.
  • $Ker f$ est réduit à l'élément neutre de G.
Démonstration Si $f$ est injective, l'image du neutre de G par $f$ étant le neutre de H, aucun autre élément de G ne peut avoir $e_H$ comme image. ( Ou sinon cela contredit l'injectivité de $f$). Donc le noyau de $f$ se réduit à $\lbrace e_G \rbrace$.
Si cette dernière propriété est vérifiée, prenons x et y dans G telles que $f(x)=f(y)$. Alors $f$ étant un homomorphisme, $f(x \perp y^{-1})=e_H$. Donc $x\perp y^{-1}$ est élément de $Ker f$. Mais le noyau de $f$ étant réduit à $\lbrace e_G \rbrace$, cela implique que $x \perp y^{-1}=e_G$ et donc que $x=y$.
Proposition Soit $f:G\longrightarrow H$ un homomorphisme . Alors:
  • Ker f est un sous groupe de G.
  • Im f (= l'image de f= $\lbrace f(x);x\in G \rbrace$ ) est un sous groupe de H.
$ $
Démonstration Montrons que le noyau de $f$ est un sous groupe de G. $e_G$ est naturellement élément de Ker $f$. Soient x et y des éléments de Ker $f$. Alors $f(x \perp y^{-1})=f(x)\top f(y)^{-1}=e_H$. Ceci prouve que $x\perp y^{-1}$ est élément de Ker $f$.
Montrons maintenant que Im $f$ est un sous groupe de H. Remarquons que $e_H=f(e_G)$ et donc que $e_H$ est élément de Im $f$. Soient encore $f(x)$ et $f(y)$ des éléments de Im $f$. Alors $f(x).f(y)^{-1}=f(x.y^{-1})$ est bien élément de Im $f$.C.q.f.d.
Proposition L'application composée de deux homomorphismes est encore un homomorphisme.
Démonstration Triviale!!!

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E_Vieillard-Baron
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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