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Notions supplémentaires sur les groupes

Définition Soit (G,$\perp$) un groupe. Soit I un sous ensemble de G. On dit que I engendre G si tout élément de G peut s'écrire comme un produit ( via la loi $\perp$) d'éléments de I.
Définition Soit (G,$\perp$) un groupe.
  • On dit que G est finiment engendré si il existe une partie I de G de cardinal fini et qui engendre G.
  • On dira que G est fini si son cardinal est fini. Dans ce cas, on notera |G| le cardinal de G. Le cardinal d'un groupe s'appelle aussi l'ordre de ce groupe.
  • On dit que G est monogène si il est engendré par un sous ensemble constitué d'un unique élément.
  • On dit que G est cyclique si il est monogène et fini.
$ $

Définition Soit g un élément d'un goupe (G,$\perp$). Soit n un élément de $ {\mathbb{N}}$$^*$.On note

$\displaystyle g^n=\underbrace{g\perp...\perp g}_{n fois}.$

Si n=0, on pose g$^0$=e$_G$. Le plus petit élément n de $ {\mathbb{N}}$$^*$ tel que g$^n=e_G$ sera appelé l'ordre de g. Dans le cas ou n est infini, on dira que g est d'ordre infini.

Proposition Si (G,.) est un groupe fini alors tout élément de G a un ordre plus petit que le cardinal de G.
Démonstration Notons n le cardinal de G. Soit g un élément de G. Si l'ordre de G n'est pas fini ou plus grand que G, alors on peut trouver un entier m plus grand que n tel que $A=\lbrace g,g^2,...,g^m \rbrace$ soit un sous ensemble de G ne contenant pas l'élément neutre. Mais le cardinal de A est nécessairement plus petit que celui de G. Ceci implique l'existence de deux entiers i et j plus petit ou égaux à m et plus grand que 0 tel que $g^i=g^j$. On peut supposer i<j. Alors $g^{j-i}=e$. On a alors trouvé un entier k=j-i tel que 0<k<m et tel que g$^k$=e. Ceci contredit notre hypothèse de départ et nous permet d'affirmer que l'ordre de g est fini et plus petit que le cardinal de G.

On renvoit ici à la section sur le théorème de Lagrange pour plus de précision sur le rapport entre l'ordre d'un groupe et l'ordre d'un élément de ce groupe.


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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