Définition Soit (G,) un groupe. Soit I un sous ensemble de G. On dit que I engendre G si tout élément de G peut s'écrire comme un produit (
via la loi ) d'éléments de I.
Définition Soit (G,) un groupe.
On dit que G est finiment engendré si il existe une partie I de G de cardinal fini et qui engendre G.
On dira que G est fini si son cardinal est fini. Dans ce cas, on notera |G| le cardinal de G. Le cardinal d'un groupe s'appelle aussi l'ordre de ce groupe.
On dit que G est monogène si il est engendré par un sous ensemble constitué d'un unique élément.
On dit que G est cyclique si il est monogène et fini.
Définition Soit g un élément d'un goupe (G,). Soit n un élément de
.On note
Si n=0, on pose g=e. Le plus petit élément n de
tel que g sera appelé l'ordre de g. Dans le cas ou n est infini, on dira que g est d'ordre infini.
Proposition Si (G,.) est un groupe fini alors tout élément de G a un ordre plus petit que le cardinal de G.
Démonstration Notons n le cardinal de G. Soit g un élément de G. Si l'ordre de G n'est pas fini ou plus grand que G, alors on peut trouver un entier m plus grand que n tel que
soit un sous ensemble de G ne contenant pas l'élément neutre. Mais le cardinal de A est nécessairement plus petit que celui de G. Ceci implique l'existence de deux entiers i et j plus petit ou égaux à m et plus grand que 0 tel que . On peut supposer i<j. Alors . On a alors trouvé un entier k=j-i tel que 0<k<m et tel que g=e. Ceci contredit notre hypothèse de départ et nous permet d'affirmer que l'ordre de g est fini et plus petit que le cardinal de G.
On renvoit ici à la section sur le théorème de Lagrange pour plus de précision sur le rapport entre l'ordre d'un groupe et l'ordre d'un élément de ce groupe.
) un groupe. Soit I un sous ensemble de G. On dit que I engendre G si tout élément de G peut s'écrire comme un produit (
via la loi 
.On note
=e
. Le plus petit élément n de
sera appelé l'ordre de g. Dans le cas ou n est infini, on dira que g est d'ordre infini.
soit un sous ensemble de G ne contenant pas l'élément neutre. Mais le cardinal de A est nécessairement plus petit que celui de G. Ceci implique l'existence de deux entiers i et j plus petit ou égaux à m et plus grand que 0 tel que 
. On peut supposer i<j. Alors 
. On a alors trouvé un entier k=j-i tel que 0<k<m et tel que g
=e. Ceci contredit notre hypothèse de départ et nous permet d'affirmer que l'ordre de g est fini 
