Proposition Supposons que
. Notons
l'application qui à associe sa classe d'équivalence dans G/H. Alors est un homomorphisme de groupe. De plus H=Ker et est surjectif.
Démonstration Soient x et y des éléments de G alors
Cette propriété n'est que
l'expression de la définition de la loi de groupe sur G/H. Pour l'égalité entre le noyau de et H, il suffit de remarquer que tout élément de
H est équivalent dans G/H au neutre de G/H. De plus si
est un élément de G/H, x est un antécédent de cet élément par . Donc
est bien surjectif.
Théorème Premier théorème d'isomorphisme Soient G et G' des groupes. Soit
un homomorphisme de groupe. Rappelons que Ker est un sous groupe distingué de G et donc que G/Ker a une structure de groupe pour la loi induite de celle de G. Rappelons aussi que l'on a un morphisme surjectif
qui a tout élément de G associe sa classe d'équivalence dans G/Ker . Ajoutons encore que l'image d'un groupe par un morphisme est un sous groupe du groupe image. On peut alors affirmer qu'il existe un isomorphisme tel que
.
Démonstration Posons H=Ker .
Construisons tout d'abord
. Posons, si
,
où x est un représentant de la classe
d'équivalence
.
est bien définie car si y est un autre représentant de la classe d'équivalence associée à x, alors
. Cette dernière égalité est vraie car est un morphisme et x et y étant équivalents dans G/H, est élément de Ker . Donc et
est bien définie.
est bien ,par définition ,un homomorphisme de groupe.
Montrons que
est injective. Soient
. Supposons que
alors par définition de
, on a: donc
et comme est un homomorphisme,
. Ce qui implique que
et donc que
. Ceci prouve l'injectivité de
.
Comme une application est surjective sur son image (!!!)
est un isomorphisme de G/H dans Im .
Enfin par définition de
on a bien
.
Théorème Second théorème d'isomorphisme Soient G un groupe, H et K des sous groupes de G. On suppose que H
G. Alors HK est normal dans K et K/(KH) HK/H.
Démonstration
Montrons que HK est normal dans K. Il est tout d'abord évident que HK est un sous groupe de G (Une intersection de sous-groupes
est encore un sous-groupe). Soit x un élément de HK et soit K. Alors
est, comme H est normal dans G, encore élément de H.
est aussi élément de K comme produit d'élément de K. Donc
est bien élément de HK et HK est bien distingué dans
K.
Remarquons maintenant que HK est un sous groupe de G pour la loi induite de celle de G. L'élément neutre de G est naturellement élément de HK. Et si g=h.k, g'=h'.k' sont des éléments de HK alors
Comme H est normal dans G, k.h'.k est élément de H et donc égal à un élément h'' de H. Donc g.g'=h.h''.k.k' est bien de la forme d'un produit d'un élément de H et d'un élément de K. Notre loi est donc bien interne. Enfin, si g=h.k alors g=k.h=k.h.k.k. Comme H est normal dans G,k.h.k est élément de H et l'inverse de g est bien élément de HK.
HK étant normal dans K, K/(KH) a une structure de groupe pour la loi induite de celle de K. Montrons que ce groupe est isomorphe à HK/H. Définissons pour cela l'application
par si g=h.k est élément de HK,
où
désigne la classe d'équivalence de k dans
. Cette application est bien définie car si g est aussi représenté par le produit h'.k' de HK alors h.k=h'.k' et k.k'=h.h'. Le
produit du second membre de l'égalité est élément de H et le produit du premier membre élément de K. On en déduit que k.k' est élément de
. Donc
et
.
Comme est un sous groupe normal de K alors l'application ( qui à un élément de HK associe sa classe d'équivalence...) est un homomorphisme de groupe.
Calculons alors Ker(). Soit g=h.k tel que
. k est donc élément de . Par conséquent g est un produit de deux éléments de K et est élément de K. On vient d'établir KerK. Prenons un élément k de K. Par définition de , (k)=
. Ceci prouve l'inclusion réciproque. En conclusion: Ker=K.
est surjective. En effet, si
est élément de alors (h)=
.
Appliquons enfin le premier théorème d'isomorphisme à :
.
Théorème Troisième théorème d'isomorphisme Soient G un groupe, H et K des sous groupes de G. On suppose que H
G et que K
G. On suppose de plus que HK. Alors K/H
G/H et
Démonstration
Soit g un élément de G. Notons
sa classe d'équivalence dans G/H et
sa classe d'équivalence dans G/K.
Montrons que K/H
G/H. Pour cela choisissons un élément
dans G/H et une élément
dans K/H. Alors
. Mais K étant normal dans G, il existe k' K tel que ce dernier élément soit égal à
, Cqfd.
Soit l'application qui à un élément
de G/H associe l'élément
de G/K. est bien définie et est un morphisme du groupe G/H dans le groupe G/K. De plus, H étant inclu dans K, est surjective. On peut alors appliquer le premier théorème d'isomorphisme. Ceci nous permet d'affirmer que