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Théorèmes d'isomorphie

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Théorèmes d'isomorphie

Proposition Supposons que $H\triangleleft G$ . Notons $\Pi:G \longrightarrow G/H$

l'application qui à $x \in G$ associe sa classe d'équivalence

$\overline % x$ dans G/H. Alors $\Pi$ est un homomorphisme de groupe

. De plus H=Ker $\Pi$

et $\Pi$ est surjectif.
Démonstration Soient x et y des éléments de G alors

$\displaystyle \Pi(x.y)=\overline {x.y}=\overline x . \overline y=\Pi(x).\Pi(u).$

Cette propriété n'est que l'expression de la définition de la loi de groupe sur G/H. Pour l'égalité entre le noyau de $\Pi$ et H, il suffit de remarquer que tout élément de H est équivalent dans G/H au neutre de G/H. De plus si $\overline x$ est un élément de G/H, x est un antécédent de cet élément par $\Pi$ . Donc $\Pi$ est bien surjectif.
Théorème Premier théorème d'isomorphisme Soient G et G' des groupes. Soit $f:G\longrightarrow G'$ un homomorphisme de groupe

. Rappelons que Ker

est un sous groupe distingué de G

et donc que G/Ker

a une structure de groupe pour la loi induite de celle de G

. Rappelons aussi que l'on a un morphisme surjectif $\Pi:G \longrightarrow G/Ker f$ qui a tout élément de G associe sa classe d'équivalence dans G/Ker

. Ajoutons encore que l'image d'un groupe par un morphisme est un sous groupe du groupe image. On peut alors affirmer qu'il existe un isomorphisme

$\overline f:G/Ker f % \longrightarrow Im f$ tel que $\overline f \circ \Pi=\Pi \circ f$ .
Démonstration Posons H=Ker

.
Construisons tout d'abord $\overline f$ . Posons, si $\overline x\in G/H$ , $\overline f(\overline x)=f(x)$ où x est un représentant de la classe d'équivalence $\overline x$ . $\overline f$ est bien définie car si y est un autre représentant de la classe d'équivalence associée à x, alors $\overline f(\overline y)=f(y)=f(x.x^{-1}.y)=f(x).f(x^{-1}.y)$ . Cette dernière égalité est vraie car

est un morphisme et x et y étant équivalents dans G/H, $x.y^{-1}$ est élément de Ker

. Donc

et $\overline f$ est bien définie.
$\overline f$ est bien ,par définition ,un homomorphisme de groupe

.
Montrons que $\overline f$ est injective. Soient $\overline x,\; \overline y\in G/H$ . Supposons que $\overline f(\overline x)=\overline f( % \overline y)$ alors par définition de $\overline f$ , on a:

donc $f(x).f(y)^{-1}=e_{G'}$ et comme

est un homomorphisme, $f(x.y^{-1})=e_{G'}$ . Ce qui implique que $x.y^{-1}\in Ker f$

et donc que $\overline x=\overline y$ . Ceci prouve l'injectivité de $\overline % f$ .
Comme une application est surjective sur son image (!!!) $\overline f$ est un isomorphisme

de G/H dans Im

. Enfin par définition de $\overline f$ on a bien $\overline f \circ \Pi=\Pi \circ f$ .
Théorème Second théorème d'isomorphisme Soient G un groupe, H et K des sous groupes de G. On suppose que H $\triangleleft$ G

. Alors H $\cap$ K est normal dans K

et K/(K $\cap$ H) $\simeq$ HK/H

.
Démonstration

Montrons que H $\cap$ K est normal dans K. Il est tout d'abord évident que H $\cap$ K est un sous groupe de G (Une intersection de sous-groupes est encore un sous-groupe). Soit x un élément de H $\cap$ K et soit $g\in$ K. Alors $g.x.g^{-1}$ est, comme H est normal dans G, encore élément de H. $g.x.g^{-1}$ est aussi élément de K comme produit d'élément de K. Donc $g.x.g^{-1}$ est bien élément de H $\cap$ K et H $\cap$ K est bien distingué dans K.
Remarquons maintenant que HK est un sous groupe de G pour la loi induite de celle de G. L'élément neutre de G est naturellement élément de HK. Et si g=h.k, g'=h'.k' sont des éléments de HK alors

$\displaystyle g.g'=h.k.h'.k'=h.k.h'.k^{-1}.k.k'.$
Comme H est normal dans G, k.h'.k $^{-1}$ est élément de H et donc égal à un élément h'' de H. Donc g.g'=h.h''.k.k' est bien de la forme d'un produit d'un élément de H et d'un élément de K. Notre loi est donc bien interne. Enfin, si g=h.k alors g $^{-1}$ =k $^{-1}$ .h $^{-1}$ =k $^{-1}$ .h $^{-1}$ .k.k $^{-1}$ . Comme H est normal dans G,k $^{-1}$ .h $^{-1}$ .k est élément de H et l'inverse de g est bien élément de HK.
H $\cap$ K étant normal dans K, K/(K $\cap$ H) a une structure de groupe pour la loi induite de celle de K. Montrons que ce groupe est isomorphe à HK/H. Définissons pour cela l'application $\theta: HK % \rightarrow H/K\cap H$ par si g=h.k est élément de HK, $\theta(g)=\overline k$ où $\overline k$ désigne la classe d'équivalence de k dans $H/K\cap % H$ . Cette application est bien définie car si g est aussi représenté par le produit h'.k' de HK alors h.k=h'.k' et k.k' $^{-1}$ =h $^{-1}$ .h'. Le produit du second membre de l'égalité est élément de H et le produit du premier membre élément de K. On en déduit que k.k' $^{-1}$ est élément de $H\cap K$ . Donc $\overline{k.k'^{-1}}=e_{H/H\cap K}$ et $\theta(g)=\overline{k}=\overline{k'}$ .
Comme $K\cap H$ est un sous groupe normal de K alors l'application $\theta$ ( qui à un élément de HK associe sa classe d'équivalence...) est un homomorphisme de groupe.
Calculons alors Ker( $\theta$ ). Soit g=h.k $\in HK$ tel que $\theta(g)=\overline{k}=\overline{e_{H/H\cap K}}$ . k est donc élément de $H\cap K$ . Par conséquent g est un produit de deux éléments de K et est élément de K. On vient d'établir Ker $\theta$ $\subset$ K. Prenons un élément k de K. Par définition de $\theta$ , $\theta$ (k)= $e_{H/H\cap K}$ . Ceci prouve l'inclusion réciproque. En conclusion: Ker $\theta$ =K.
$\theta$ est surjective. En effet, si $\overline{h}$ est élément de $H/H\cap K$ alors $\theta$ (h)= $\overline{h}$ .
Appliquons enfin le premier théorème d'isomorphisme à $\theta$ : ${HK\over H} \simeq {H \over {H\cap K}}$ .

Théorème Troisième théorème d'isomorphisme Soient G un groupe, H et K des sous groupes de G. On suppose que H $\triangleleft$ G et que K $\triangleleft$ G

. On suppose de plus que H $\subset$ K. Alors K/H $\triangleleft$ G/H et

$\displaystyle {{G/H}\over{K/H}} \simeq G/K.$

Démonstration

Soit g un élément de G. Notons $\overline{x}$ sa classe d'équivalence dans G/H et $\overline{\overline{x}}$ sa classe d'équivalence dans G/K.
Montrons que K/H $\triangleleft$ G/H. Pour cela choisissons un élément $\overline{g}$ dans G/H et une élément $\overline{k}$ dans K/H. Alors $\overline{g}.\overline{k}.\overline{g}^{-1}=\overline{g.k.g^{-1}}$ . Mais K étant normal dans G, il existe k' $\in$ K tel que ce dernier élément soit égal à $\overline{k'}$ , Cqfd.
Soit $\theta$ l'application qui à un élément $\overline{k}$ de G/H associe l'élément $\overline{\overline{g}}$ de G/K. $\theta$ est bien définie et est un morphisme du groupe G/H dans le groupe G/K. De plus, H étant inclu dans K, $\theta$ est surjective. On peut alors appliquer le premier théorème d'isomorphisme. Ceci nous permet d'affirmer que