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Quelques définitions supplémentaires

Définition On appelle centre du groupe (G,$\perp$) le sous ensemble de G $\lbrace x \in G; \forall y \in G x \perp y=y \perp x \rbrace$. On note Z(G) ce sous ensemble. Z(G) est l'ensemble des éléments de G qui commutent avec tout les autres éléments de G.
Remarque Le centre d'un groupe contient toujours l'élément neutre de ce groupe et donc est toujours non vide.
Proposition Le centre d'un groupe est un sous groupe distingué de ce groupe.
Démonstration C'est très facile.

Définition On dit que deux sous groupes H et K de G sont conjugués si il existe un élément g de G tel que g.H.g$^{-1}$=K.

Proposition Si deux sous groupes de G sont conjugués alors ils sont en bijection. Dans le cas où leur cardinal est fini, ils ont même cardinal.

Démonstration Soient H et G deux sous groupes conjugués de G. Soit donc g dans G tel que g.H.g$^{-1}$=K. Définissons $\theta: H \longrightarrow K \; \theta(h)=g.h.g^{-1}$. L'égalité g.H.g$^{-1}$=K nous permet d'être convaincu de la surjectivité de $\theta$. Pour l'injectivité: si g.h.g$^{-1}$ = g.h'.g$^{-1}$ alors en multipliant cette égalité à gauche par g$^{-1}$ et à droite par g, on obtient h=h', Cqfd.

Définition On dit qu'un groupe est simple si les seuls sous groupes distingués de G sont G et $\lbrace e \rbrace$.

Définition On appelle commutateur des éléments g et g' de G l'élément de G noté [g,g'] et donné par [g,g']=g.g'.g$^{-1}$.g'$^{-1}$.

Définition (Proposition) L'ensemble des commutateurs des éléments de G engendre un sous groupe distingué de G appelé sous groupe dérivé de G et est noté D(G).

Démonstration Facile, il suffit d'écrire.

L'intérêt du sous groupe dérivé d'un groupe réside dans le fait que G/D(G) est le plus grand quotient abélien de G. Ceci signifie que si H est un sous groupe normal de G tel que G/H est abélien, alors on a une injection de G/H dans G/D(G).

Proposition G/D(G) est le plus grand quotient abélien de G.

Démonstration Montrons tout d'abord que G/D(G) est abélien ( On ne rappellera pas que G/D(G) a, comme D(G) est normal dans G, une structure de groupe). Soient $\overline{g}$ et $\overline{g'}$ des éléments de G/D(G). Alors comme [g,g'] est élément de D(G), on a $\overline{e}=\overline{[g,g']}=\overline{g.g'.g^{-1}.g'^{-1}}=\overline{g}.\overline{g'}.\overline{g^{-1}}.\overline{g'^{-1}}$. Donc $\overline{g}.\overline{g'}=\overline{g'}.\overline{g}$. Comme g et g' sont quelconques dans G, on a bien montré que G/D(G) est abélien. Remarquons maintenant que si H est un sous groupe normal de G tel que G/H est abélien, alors si g et g' sont éléments de H et si $\overline{\overline{g}}$ désigne la classe d'équivalence de g dans G/H, $\overline {\overline{g}}.\overline {\overline{g'}}=\overline {\overline{g'}}.\overline {\overline{g}}$. Soit encore $\overline {\overline{g.g'.g^{-1}.g'^{-1}}}=\overline {\overline{e}}$. Cette dernière égalité prouve que [g,g'] est élément de H. Comme g et g' sont quelconques dans G, nous venons d'établir que D(G)$\subset$H. Montrons l'existence d'une injection de G/H dans G/D(G). Soit $\theta: G/H \longrightarrow G/D(G)$ telle que si g est élément de G, $\theta(\overline {\overline{g}})={\overline{g}}$. On vérifie que $\theta$ est bien définie et que c'est un homomorphisme de groupe. Si $\theta$( $\overline{\overline{g}}$)= $\overline{e}$ alors cela signifie que g$\in$D(G). Mais d'après l'inclusion précédente, cela signifie aussi que g$\in$H et donc que $\overline {\overline{g}}=\overline {\overline{e}}$, Cqfd.


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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