Définition Soit E un ensemble. Un ordre partiel sur E est donné par une relation vérifiant, si x, y E:
est réflexive: xx.
est transitive: si xy et yz alors xz.
vérifie: si xy et yx alors x=y.
On notera les relations d'ordre partiel par analogie avec la relation ``être plus grand ou égal à'' qui défini un ordre partiel sur , par exemple.
Définition Soit E un ensemble muni d'un ordre partiel . On dit que les éléments x et y de E sont comparables si l'une des deux affirmations: xy ou yx est vraie.
Définition Un ensemble est dit partiellement ordoné si il existe une relation sur E définissant un ordre partiel sur E.
Définition Soit E un ensemble partiellement ordonné et F une partie de E. F est alors lui aussi partiellement ordonné pour l'ordre induit de celui de E. On dit que F est partiellement ordonné pour l'ordre partiel induit de F.
Définition Soit E un ensemble partiellement ordonné pour une relation . Un minimum de E ou un plus petit élément de E est un élément a de E tel que
.
Un maximum de E ou un plus grand élément de E est un élément b de E tel que
.
Définition Soit E un ensemble partiellement ordonné pour une relation . Un élément m de E est dit élément maximal si il vérifie: si
alors x=b. De même on définirait un élément minimal de E.
Définition Soit E un ensemble muni d'une relation qui fait de lui un ensemble partiellemnt ordonné. Si pour tout x et y de E, une et une seule des deux relations: xy ou yx est réalisée alors E est dit totalement ordonné.
Définition Soit E un ensemble partiellement ordonné et soit F une partie de E. Un élément a de E est un minorant de F si F, ax. Un élément b de E est un majorant de F si F, xb.
Définition Soit E un ensemble partiellement ordonné et soit F une partie de E. Un élément a de E est une borne inférieur de A si c'est le plus grand des minorants de F: a est un minorant de F et si x est un minorant de F alors xa. De même la borne supérieure b de F est le plus petit des majorants de F: b est un majorant de F et si x est un majorant de F alors bx.
Remarque Attention la borne supérieure (resp. inférieure) d'un ensemble n'existe pas forcément.