Ensembles ordonnés

Définition Soit E un ensemble. Un ordre partiel sur E est donné par une relation $\cal R$ vérifiant, si x, y $\in$ E:

$\cal R$ est réflexive: x $\cal R$ x.
$\cal R$ est transitive: si x $\cal R$ y et y $\cal R$ z alors x $\cal R$ z.
$\cal R$ vérifie: si x $\cal R$ y et y $\cal R$ x alors x=y.

On notera $\leq$ les relations d'ordre partiel par analogie avec la relation ``être plus grand ou égal à'' qui défini un ordre partiel sur ${\mathbb{N}}$ , par exemple.

Définition Soit E un ensemble muni d'un ordre partiel $\cal R$ . On dit que les éléments x et y de E sont comparables si l'une des deux affirmations: x $\cal$ y ou y $\cal$ x est vraie.

Définition Un ensemble est dit partiellement ordoné si il existe une relation sur E définissant un ordre partiel sur E.

Définition Soit E un ensemble partiellement ordonné et F une partie de E. F est alors lui aussi partiellement ordonné pour l'ordre induit de celui de E. On dit que F est partiellement ordonné pour l'ordre partiel induit de F.

Définition Soit E un ensemble partiellement ordonné pour une relation $\leq$ . Un minimum de E ou un plus petit élément de E est un élément a de E tel que $\forall x \in E a \leq x$ . Un maximum de E ou un plus grand élément de E est un élément b de E tel que $\forall x \in E x \leq b$ .

Définition Soit E un ensemble partiellement ordonné pour une relation $\leq$ . Un élément m de E est dit élément maximal si il vérifie: si $\exists x \in E x \leq b$ alors x=b. De même on définirait un élément minimal de E.

Définition Soit E un ensemble muni d'une relation $\leq$ qui fait de lui un ensemble partiellemnt ordonné. Si pour tout x et y de E, une et une seule des deux relations: x $\leq$ y ou y $\leq$ x est réalisée alors E est dit totalement ordonné.

Définition Soit E un ensemble partiellement ordonné et soit F une partie de E. Un élément a de E est un minorant de F si $\forall x\in$ F, a $\leq$ x. Un élément b de E est un majorant de F si $\forall x\in$ F, x $\leq$ b.

Définition Soit E un ensemble partiellement ordonné et soit F une partie de E. Un élément a de E est une borne inférieur de A si c'est le plus grand des minorants de F: a est un minorant de F et si x est un minorant de F alors xa. De même la borne supérieure b de F est le plus petit des majorants de F: b est un majorant de F et si x est un majorant de F alors b $\leq$ x.