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Ensembles ordonnés

Définition Soit E un ensemble. Un ordre partiel sur E est donné par une relation $\cal R$ vérifiant, si x, y $\in$E:

  • $\cal R$ est réflexive: x$\cal R$x.

  • $\cal R$ est transitive: si x$\cal R$y et y$\cal R$z alors x$\cal R$z.

  • $\cal R$ vérifie: si x$\cal R$y et y$\cal R$x alors x=y.

On notera $\leq$ les relations d'ordre partiel par analogie avec la relation ``être plus grand ou égal à'' qui défini un ordre partiel sur ${\mathbb{N}}$, par exemple.

Définition Soit E un ensemble muni d'un ordre partiel $\cal R$. On dit que les éléments x et y de E sont comparables si l'une des deux affirmations: x$\cal$y ou y$\cal$x est vraie.

Définition Un ensemble est dit partiellement ordoné si il existe une relation sur E définissant un ordre partiel sur E.

Définition Soit E un ensemble partiellement ordonné et F une partie de E. F est alors lui aussi partiellement ordonné pour l'ordre induit de celui de E. On dit que F est partiellement ordonné pour l'ordre partiel induit de F.

Définition Soit E un ensemble partiellement ordonné pour une relation $\leq$. Un minimum de E ou un plus petit élément de E est un élément a de E tel que $\forall x \in E   a \leq x$. Un maximum de E ou un plus grand élément de E est un élément b de E tel que $\forall x \in E   x \leq b$.

Définition Soit E un ensemble partiellement ordonné pour une relation $\leq$. Un élément m de E est dit élément maximal si il vérifie: si $\exists x \in E   x \leq b$ alors x=b. De même on définirait un élément minimal de E.

Définition Soit E un ensemble muni d'une relation $\leq$ qui fait de lui un ensemble partiellemnt ordonné. Si pour tout x et y de E, une et une seule des deux relations: x$\leq$y ou y$\leq$x est réalisée alors E est dit totalement ordonné.

Définition Soit E un ensemble partiellement ordonné et soit F une partie de E. Un élément a de E est un minorant de F si $\forall x\in$F, a$\leq$x. Un élément b de E est un majorant de F si $\forall x\in$F, x$\leq$b.

Définition Soit E un ensemble partiellement ordonné et soit F une partie de E. Un élément a de E est une borne inférieur de A si c'est le plus grand des minorants de F: a est un minorant de F et si x est un minorant de F alors x$_leq$a. De même la borne supérieure b de F est le plus petit des majorants de F: b est un majorant de F et si x est un majorant de F alors b$\leq$x.

Remarque Attention la borne supérieure (resp. inférieure) d'un ensemble n'existe pas forcément.


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