Le cube de Hilbert

Définition On appelle cube de Hilbert l'espace produit , muni de la topologie produit ( étant muni de la topologie usuelle sur les segments de réels).

Propriétés:

Le cube de Hilbert est connexe par arcs (considérer, étant donnés deux suites de réels et , l'application qui à associe ). Chaque composante étant continue, cette application est continue.

Le cube de Hilbert est métrisable (considérer l'application qui à et associe .

Le cube de Hilbert est compact; par application du théorème de Tykhonov.

Théorème Tout espace métrique compact est homéomorphe à un sous-espace topologique du cube de Hilbert.

Démonstration:

Etant donné , on considère un recouvrement de par des boules pour , en nombre fini et de rayon (on peut toujours construire un recouvrement fini, en extrayant un recouvrement fini du recouvrement comportant TOUTES les boules de rayon , via la compacité de ).

On note la boule de même centre que , mais de rayon double ()

On peut, par le lemme d'Urysohn , trouver une fonction continue égale à sur , comprise entre 0 et , et nulle en dehors de la boule .

On peut alors construire l'application qui à un point de associe

Cette application est continue, puisque toutes ses composantes sont continues.

Elle est injective, on l'a d'ailleurs un peu beaucoup construite pour ça.

de dans est alors une application continue bijective d'un espace compact dans un espace séparé; ceci implique que est un homéomorphisme, d'après le corollaire .