Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
178 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan

Les maths pour l'agreg

A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 
Le cube de Hilbert next up previous index
suivant: Fonction non continue vérifiant monter: Zoologie de la topologie précédent: Les espaces projectifs   Index


Le cube de Hilbert

Définition On appelle cube de Hilbert l'espace produit $ [0,1]^\mathbb{N}$, muni de la topologie produit ($ [0,1]$ étant muni de la topologie usuelle sur les segments de réels).

Propriétés:

$ \bullet $Le cube de Hilbert est connexe par arcs (considérer, étant donnés deux suites de réels $ (x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ et $ (y_n)_{n\in \mathbb{N}}$, l'application qui à $ t$ associe $ (x_n+t.(y_n-x_n))_{n\in \mathbb{N}}$). Chaque composante étant continue, cette application est continue.

$ \bullet $Le cube de Hilbert est métrisable (considérer l'application qui à $ (x_n)$ et $ (y_n)$ associe $ \sum_{n\in \mathbb{N}} \frac{\vert x_n-y_n\vert}{2^n}$.

$ \bullet $Le cube de Hilbert est compact; par application du théorème de Tykhonov.

Théorème Tout espace métrique compact $ K$ est homéomorphe à un sous-espace topologique du cube de Hilbert.

Démonstration:

$ \bullet $Etant donné $ n\in \mathbb{N}$, on considère un recouvrement de $ K$ par des boules $ b_{n,i}$ pour $ i\in [1,t(n)]$, en nombre fini et de rayon $ 1/n$ (on peut toujours construire un recouvrement fini, en extrayant un recouvrement fini du recouvrement comportant TOUTES les boules de rayon $ 1/n$, via la compacité de $ K$).

$ \bullet $On note $ B_{n,i}$ la boule de même centre que $ b_{n,i}$, mais de rayon double ($ 2/n$)

$ \bullet $On peut, par le lemme d'Urysohn [*], trouver une fonction continue $ f_{n,i}$ égale à $ 1$ sur $ b_{n,i}$, comprise entre 0 et $ 1$, et nulle en dehors de la boule $ B_{n,i}$.

$ \bullet $On peut alors construire l'application $ f$ qui à un point $ x$ de $ K$ associe

$\displaystyle (f_{1,1}(x),...,f_{1,t(1)}(x),f_{2,1}(x),...,f_{2,t(2)}(x),...,f_{m,1}(x),...,f_{m,t(m)}(x)...),$

qui est un élément du cube de Hilbert.

$ \bullet $Cette application est continue, puisque toutes ses composantes sont continues.

$ \bullet $Elle est injective, on l'a d'ailleurs un peu beaucoup construite pour ça.

$ \bullet $$ f$ de $ K$ dans $ f(K)$ est alors une application continue bijective d'un espace compact dans un espace séparé; ceci implique que $ f$ est un homéomorphisme, d'après le corollaire [*].$ \sqcap$$ \sqcup$


next up previous index
suivant: Fonction non continue vérifiant monter: Zoologie de la topologie précédent: Les espaces projectifs   Index
C.Antonini_JF.Quint_P.Borgnat_J.Bérard_E.Lebeau_E.Souche_A.Chateau_O.Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page