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Sous-sections

Tous les fermés de $ \mathbb{R}^n$ s'expriment comme zéros de fonctions indéfiniment dérivables

$ \boxcircle$ Des fermés particuliers, le cas de la dimension $ 1$

Lemme Il existe une fonction $ C^\infty$ de $ \mathbb{R}$ dans $ \mathbb{R}$ qui s'annule exactement sur $ ]-\infty,0]$.

Démonstration:

$ \bullet $On pose $ f(x)=exp(-1/x)$ pour $ x>0$, $ f(x)=0$ sinon.

$ \bullet $Il est clair que $ f$ est $ C^\infty$ sur $ \mathbb{R}^*$.

$ \bullet $En 0 on peut facilement voir que toutes les dérivées sont nulles, car leurs limites sont nulles, puisqu'elles s'expriment comme produit d'une fraction rationnelle par un $ exp(-1/x)$. $ \sqcap$$ \sqcup$

Lemme Tout intervalle ouvert de $ \mathbb{R}$ s'exprime comme complémentaire de l'ensemble des zéros d'une fonction $ C^\infty$.

Démonstration: $ \bullet $ $ ]a,+\infty[$ ou $ ]-\infty,a[$: voir lemme précédent.

$ \bullet $$ ]a,b[$ est l'ensemble des zéros de $ x \mapsto f(x-a).f(b-x)$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Lemme Tout fermé de $ \mathbb{R}$ s'exprime comme ensemble des zéros d'une fonction $ C^\infty$.

Démonstration:

$ \bullet $On note $ U$ le complémentaire du fermé à étudier.

$ \bullet $$ U$ est ouvert.

$ \bullet $$ U$ est réunion dénombrable d'intervalles ouverts disjoints (preuve en vérifiant qu'il y a un rationnel dans toute composante connexe d'un ouvert)

$ \bullet $On note $ \phi_n$ une fonction (voir lemme précédent) $ C^\infty$ qui s'annule exactement sur le complémentaire du $ n$-ième intervalle de la partition ci-dessus.

$ \bullet $On note $ \phi$ la somme des $ \phi_n$. Cette somme est bien définie car il y a au plus un des $ \phi_n$ qui est non nul en un point donné.

$ \bullet $$ \phi$ est indéfiniment dérivable, comme on s'en rend facilement compte en regardant ce qu'il se passe au voisinage d'un point donné - qui n'appartient qu'à un seul support de $ \phi_n$.$ \sqcap$$ \sqcup$

$ \boxcircle$ Des fermés particuliers, le cas général: dimension quelconque

Lemme Soit $ B$ une boule ouverte de $ \mathbb{R}^n$; il existe une fonction $ C^\infty$ nulle partout sauf dans cette boule, où elle est $ >0$.

Démonstration: On montre le résultat pour la boule unité ouverte, la généralisation étant évidente.

$ \bullet $Soit $ f(x)=exp(-\frac1{1-{\parallel}x {\parallel}^2})$ pour $ x$ tel que $ {\parallel}x {\parallel}< 1$, et $ f(x)=0$ sinon. La norme ici évoquée est la norme euclidienne.

$ \bullet $la situation étant invariante par rotation, on se contente de montrer que la fonction est $ C^\infty$ sur le premier axe (i.e. l'ensemble des $ (x,0,0,...0)$ pour $ x$ dans $ \mathbb{R}$).

$ \bullet $Pour cela on montre que chaque dérivée partielle est $ C^\infty$.

$ \bullet $Tout d'abord dans le cas d'un point autre que 0 ou $ 1$:

- La dérivée partielle suivant un autre axe que le premier est clairement nulle, par symétrie du problème.

- La dérivée partielle suivant le premier axe est clairement $ C^\infty$, comme composée d'applications $ C^\infty$, voir le lemme [*].

$ \bullet $Et en zéro, il suffit de voir que le carré de la norme euclidienne est une fonction polynômiale, donc $ C^\infty$.

$ \bullet $Le cas $ 1$ se traite facilement, comme dans le lemme [*].$ \sqcap$$ \sqcup$

Lemme Tout ouvert s'écrit comme réunion dénombrable de boules ouvertes.

Démonstration:

$ \bullet $On considère la suite $ x_n$ des points à coordonnées rationnelles de $ U$, un ouvert.

$ \bullet $Pour tout $ x_n$, on définit $ r_n$ le sup des $ r$ tels que $ B(x_n,r) \subset U$.

$ \bullet $$ r_n$ est bien positif strictement, puisque $ U$ est ouvert.

$ \bullet $Il est clair que tout rationnel de $ U$ est inclus dans la réunion des $ B(x_n,r)$.

$ \bullet $Tout point $ x$ est inclus dans une boule centrée sur $ x$ de rayon $ \epsilon $ incluse dans $ U$; donc une boule centrée sur un rationnel situé à une distance au plus $ \epsilon /3$ de $ x$ et de rayon maximal va contenir $ x$. En effet

$ \bullet $Des deux $ \bullet $précédents, on déduit donc que notre ouvert s'exprime comme réunion dénombrable de boules ouvertes.$ \sqcap$$ \sqcup$

Théorème [Le résultat tant attendu] Tout fermé de $ \mathbb{R}^n$ s'exprime comme zéro d'une fonction $ C^\infty$.
Démonstration: $ \bullet $Soit $ F$ un fermé. On considère $ U$ son complémentaire. On écrit $ U$ comme une réunion dénombrable de boules ouvertes $ B_n$.

$ \bullet $On fait alors une somme pondérée de fonctions comme définies dans le lemme [*]. Avec $ \phi$ la fonction donnée par le lemme [*] pour la boule unité, on peut écrire cette somme comme $ \sum_{i=1}^\infty c_i\phi(2\frac{x-x_i}{r_i}$.

$ \bullet $Il faut maintenant parvenir à sommer la $ n$-ième fonction pondérée par le terme (strictement positif) nécessaire pour ramener toutes ses dérivées en dessous de $ 1/2^n$ fois une constante ne dépendant que de l'ordre de la dérivée; ainsi on aura convergence normale de toutes les dérivées et donc la somme sera $ C^\infty$. La difficulté est que contrairement au cas de la dimension $ 1$, les boules ne sont pas disjointes.

$ \bullet $Il est suffisant pour cela que la somme des $ c_i/r_i^k$ soit convergente. En effet, dans ce cas la dérivée $ k$-ième de $ c_i\phi(\frac{x-x_i}{r_i}$ sera majorée par la borne sur la dérivée $ k$-ième de $ \phi$, divisée par $ r_i^k$.

$ \bullet $Il suffit de choisir $ c_i=e^{-\frac 1{r_i}}.2^{-i}$; ainsi $ \sum c_i /r_i^k = \sum 2^{-i}.e^{-\frac 1{r_i}}/r_i^k \leq \sum 2^{-i}.M_k$ avec $ M_k$ le $ sup$ de $ x^k.e^-{\frac1x}$.$ \sqcap$$ \sqcup$


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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