Lemme
Il existe une fonction de
dans
qui s'annule exactement sur
.
Démonstration:
On pose
pour , sinon.
Il est clair que est sur
.
En 0 on peut facilement voir que toutes les dérivées sont nulles, car leurs limites sont nulles, puisqu'elles s'expriment comme produit d'une fraction rationnelle par un .
Lemme
Tout intervalle ouvert de
s'exprime comme complémentaire de l'ensemble des zéros d'une fonction .
Démonstration: ou
: voir lemme précédent.
est l'ensemble des zéros de
.
Lemme
Tout fermé de
s'exprime comme ensemble des zéros d'une fonction .
Démonstration:
On note le complémentaire du fermé à étudier.
est ouvert.
est réunion dénombrable d'intervalles ouverts disjoints (preuve en vérifiant qu'il y a un rationnel dans toute composante connexe d'un ouvert)
On note une fonction (voir lemme précédent) qui s'annule exactement sur le complémentaire du -ième intervalle de la partition ci-dessus.
On note la somme des . Cette somme est bien définie car il y a au plus un des qui est non nul en un point donné.
est indéfiniment dérivable, comme on s'en rend facilement compte en regardant ce qu'il se passe au voisinage d'un point donné - qui n'appartient qu'à un seul support de .
Lemme
Soit une boule ouverte de
; il existe une fonction nulle partout sauf dans cette boule, où elle est .
Démonstration:On montre le résultat pour la boule unité ouverte, la généralisation étant évidente.
Soit
pour tel que
, et sinon. La norme ici évoquée est la norme euclidienne.
la situation étant invariante par rotation, on se contente de montrer que la fonction est sur le premier axe (i.e. l'ensemble des
pour dans
).
Pour cela on montre que chaque dérivée partielle est .
Tout d'abord dans le cas d'un point autre que 0 ou :
- La dérivée partielle suivant un autre axe que le premier est clairement nulle, par symétrie du problème.
- La dérivée partielle suivant le premier axe est clairement , comme composée d'applications , voir le lemme .
Et en zéro, il suffit de voir que le carré de la norme euclidienne est une fonction polynômiale, donc .
Le cas se traite facilement, comme dans le lemme .
Lemme
Tout ouvert s'écrit comme réunion dénombrable de boules ouvertes.
Démonstration:
On considère la suite des points à coordonnées rationnelles de , un ouvert.
Pour tout , on définit le sup des tels que
.
est bien positif strictement, puisque est ouvert.
Il est clair que tout rationnel de est inclus dans la réunion des .
Tout point est inclus dans une boule centrée sur de rayon incluse dans ; donc une boule centrée sur un rationnel situé à une distance au plus
de et de rayon maximal va contenir . En effet
Des deux précédents, on déduit donc que notre ouvert s'exprime comme réunion dénombrable de boules ouvertes.
Théorème [Le résultat tant attendu]
Tout fermé de
s'exprime comme zéro d'une fonction .
Démonstration:Soit un fermé. On considère son complémentaire. On écrit comme une réunion dénombrable de boules ouvertes .
On fait alors une somme pondérée de fonctions comme définies dans le lemme . Avec la fonction donnée par le lemme pour la boule unité, on peut écrire cette somme comme
.
Il faut maintenant parvenir à sommer la -ième fonction pondérée par le terme (strictement positif) nécessaire pour ramener toutes ses dérivées en dessous de fois une constante ne dépendant que de l'ordre de la dérivée; ainsi on aura convergence normale de toutes les dérivées et donc la somme sera . La difficulté est que contrairement au cas de la dimension , les boules ne sont pas disjointes.
Il est suffisant pour cela que la somme des soit convergente. En effet, dans ce cas la dérivée -ième de
sera majorée par la borne sur la dérivée -ième de , divisée par .