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Tous les fermés de s'expriment comme zéros de fonctions indéfiniment dérivables

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Sous-sections

$\boxcircle$ Des fermés particuliers, le cas de la dimension
$\boxcircle$ Des fermés particuliers, le cas général: dimension quelconque

Tous les fermés de $\mathbb{R}^n$ s'expriment comme zéros de fonctions indéfiniment dérivables

$\boxcircle$ Des fermés particuliers, le cas de la dimension

Lemme Il existe une fonction $C^\infty$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ qui s'annule exactement sur $]-\infty,0]$ .

Démonstration:

$\bullet$ On pose pour , sinon.

$\bullet$ Il est clair que est $C^\infty$ sur $\mathbb{R}^*$ .

$\bullet$ En 0 on peut facilement voir que toutes les dérivées sont nulles, car leurs limites sont nulles, puisqu'elles s'expriment comme produit d'une fraction rationnelle par un . $\sqcap$ $\sqcup$

Lemme Tout intervalle ouvert de $\mathbb{R}$ s'exprime comme complémentaire de l'ensemble des zéros d'une fonction $C^\infty$ .

Démonstration: $\bullet$ $]a,+\infty[$ ou $]-\infty,a[$ : voir lemme précédent.

$\bullet$ est l'ensemble des zéros de $x \mapsto f(x-a).f(b-x)$ . $\sqcap$ $\sqcup$

Lemme Tout fermé de $\mathbb{R}$ s'exprime comme ensemble des zéros d'une fonction $C^\infty$ .

Démonstration:

$\bullet$ On note le complémentaire du fermé à étudier.

$\bullet$ est ouvert.

$\bullet$ est réunion dénombrable d'intervalles ouverts disjoints (preuve en vérifiant qu'il y a un rationnel dans toute composante connexe d'un ouvert)

$\bullet$ On note $\phi_n$ une fonction (voir lemme précédent) $C^\infty$ qui s'annule exactement sur le complémentaire du -ième intervalle de la partition ci-dessus.

$\bullet$ On note $\phi$ la somme des $\phi_n$ . Cette somme est bien définie car il y a au plus un des $\phi_n$ qui est non nul en un point donné.

$\bullet$ $\phi$ est indéfiniment dérivable, comme on s'en rend facilement compte en regardant ce qu'il se passe au voisinage d'un point donné - qui n'appartient qu'à un seul support de $\phi_n$ . $\sqcap$ $\sqcup$

$\boxcircle$ Des fermés particuliers, le cas général: dimension quelconque

Lemme Soit une boule ouverte de $\mathbb{R}^n$ ; il existe une fonction $C^\infty$ nulle partout sauf dans cette boule, où elle est .

Démonstration: On montre le résultat pour la boule unité ouverte, la généralisation étant évidente.

$\bullet$ Soit $f(x)=exp(-\frac1{1-{\parallel}x {\parallel}^2})$ pour tel que ${\parallel}x {\parallel}< 1$ , et sinon. La norme ici évoquée est la norme euclidienne.

$\bullet$ la situation étant invariante par rotation, on se contente de montrer que la fonction est $C^\infty$ sur le premier axe (i.e. l'ensemble des pour dans $\mathbb{R}$ ).

$\bullet$ Pour cela on montre que chaque dérivée partielle est $C^\infty$ .

$\bullet$ Tout d'abord dans le cas d'un point autre que 0 ou :

- La dérivée partielle suivant un autre axe que le premier est clairement nulle, par symétrie du problème.

- La dérivée partielle suivant le premier axe est clairement $C^\infty$ , comme composée d'applications $C^\infty$ , voir le lemme .

$\bullet$ Et en zéro, il suffit de voir que le carré de la norme euclidienne est une fonction polynômiale, donc $C^\infty$ .

$\bullet$ Le cas se traite facilement, comme dans le lemme . $\sqcap$ $\sqcup$

Lemme Tout ouvert s'écrit comme réunion dénombrable de boules ouvertes.

Démonstration:

$\bullet$ On considère la suite des points à coordonnées rationnelles de , un ouvert.

$\bullet$ Pour tout , on définit le sup des tels que $B(x_n,r) \subset U$ .

$\bullet$ est bien positif strictement, puisque est ouvert.

$\bullet$ Il est clair que tout rationnel de est inclus dans la réunion des .

$\bullet$ Tout point est inclus dans une boule centrée sur de rayon $\epsilon$ incluse dans ; donc une boule centrée sur un rationnel situé à une distance au plus $\epsilon /3$ de et de rayon maximal va contenir . En effet

$\bullet$ Des deux $\bullet$ précédents, on déduit donc que notre ouvert s'exprime comme réunion dénombrable de boules ouvertes. $\sqcap$ $\sqcup$

Théorème [Le résultat tant attendu] Tout fermé de $\mathbb{R}^n$ s'exprime comme zéro d'une fonction $C^\infty$ .
Démonstration: $\bullet$ Soit un fermé. On considère son complémentaire. On écrit comme une réunion dénombrable de boules ouvertes .

$\bullet$ On fait alors une somme pondérée de fonctions comme définies dans le lemme . Avec $\phi$ la fonction donnée par le lemme pour la boule unité, on peut écrire cette somme comme $\sum_{i=1}^\infty c_i\phi(2\frac{x-x_i}{r_i}$ .

$\bullet$ Il faut maintenant parvenir à sommer la -ième fonction pondérée par le terme (strictement positif) nécessaire pour ramener toutes ses dérivées en dessous de fois une constante ne dépendant que de l'ordre de la dérivée; ainsi on aura convergence normale de toutes les dérivées et donc la somme sera $C^\infty$ . La difficulté est que contrairement au cas de la dimension , les boules ne sont pas disjointes.

$\bullet$ Il est suffisant pour cela que la somme des soit convergente. En effet, dans ce cas la dérivée -ième de $c_i\phi(\frac{x-x_i}{r_i}$ sera majorée par la borne sur la dérivée -ième de $\phi$ , divisée par .

$\bullet$ Il suffit de choisir $c_i=e^{-\frac 1{r_i}}.2^{-i}$ ; ainsi $\sum c_i /r_i^k = \sum 2^{-i}.e^{-\frac 1{r_i}}/r_i^k \leq \sum 2^{-i}.M_k$ avec le de $x^k.e^-{\frac1x}$ . $\sqcap$ $\sqcup$