Le compactifié d'Alexandrov

On se donne un espace topologique séparé, non compact, localement compact. L'objectif va être de construire un espace à peine plus gros que , qui lui sera compact, et qui contient un sous-espace topologique homéomorphe à .

On pose . On définit l'ensemble constitué:

- des ouverts de

- des , où est un compact de .

Il est facile de vérifier que est une topologie. L'ensemble des ouverts de est bien stable par intersection finie et par réunion quelconque; et l'ensemble des complémentaires de compacts de dans est bien lui aussi stable par intersections finies et réunion quelconques (rappelons qu'une réunion finie de compacts est compacte et qu'une intersection quelconque de compacts est compact - comme fermé d'un compact); il suffit donc de vérifier que la réunion (resp. l'intersection) d'un ouvert de et d'un complémentaire de compact de est bien un ouvert de ou un complémentaire de compact de .

Pour cela soit un ouvert de , et un compact de , de complémentaire . est l'intersection d'un ouvert avec qui est un ouvert; donc c'est un ouvert de . Et est le complémentaire de , avec le complémentaire de dans .

Montrons que est dense dans . Pour le voir il suffit de voir que tout voisinage de intersecte ; ce qui est clair car n'est pas compact^1.2.

On va maintenant montrer que est homéomorphe à un sous-espace de . L'identité de dans est injective. Les ouverts de inclus dans étant exactement les ouverts de , il est clair qu'il s'agit bien d'un homéomorphisme.

Montrons maintenant que est séparé (premier pas pour montrer qu'il est compact). On peut séparer deux points de par des ouverts, puisque est séparé. Montrons maintenant qu'on peut séparer un point de . On se donne pour cela un voisinage compact de , ce qui peut se faire puisque est localement compact. et sont des ouverts séparant et .

Montrons maintenant que vérifie la propriété de Borel-Lebesgue, c'est à dire que de tout recouvrement d'ouverts de on peut extraire un recouvrement fini. Soit , avec les ouverts. Un certain contient . Son complémentaire est compact, et recouvert par les , pour ; on peut donc le recouvrir par les , pour fini. L'ensemble des pour est un recouvrement fini de .

Exemple: est homéomorphe à la sphère unité de ^1.3.

Théorème [Compactifié d'Alexandrov] Si est un espace topologique non compact et localement compact, il existe un espace topologique compact appelé compactifié d'Alexandrov de et tel que:

est dense dans . est homéomorphe à un sous espace topologique de .

Notes

... compact^1.2

Je souligne de temps à autre les endroits où s'appliquent les hypothèses

...\space ^1.3

Cette sphère est de dimension topologique .