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Le compactifié d'Alexandrov

On se donne $ X$ un espace topologique séparé, non compact, localement compact. L'objectif va être de construire un espace $ \tilde X$ à peine plus gros que $ X$, qui lui sera compact, et qui contient un sous-espace topologique homéomorphe à $ X$.

On pose $ \tilde X= X \cup \{ \infty \}$. On définit $ {\cal T}$ l'ensemble constitué:

- des ouverts de $ X$

- des $ \tilde X \setminus K$, où $ K$ est un compact de $ X$.

$ \bullet $Il est facile de vérifier que $ {\cal T}$ est une topologie. L'ensemble des ouverts de $ X$ est bien stable par intersection finie et par réunion quelconque; et l'ensemble des complémentaires de compacts de $ X$ dans $ \tilde X$ est bien lui aussi stable par intersections finies et réunion quelconques (rappelons qu'une réunion finie de compacts est compacte et qu'une intersection quelconque de compacts est compact - comme fermé d'un compact); il suffit donc de vérifier que la réunion (resp. l'intersection) d'un ouvert de $ X$ et d'un complémentaire de compact de $ X$ est bien un ouvert de $ X$ ou un complémentaire de compact de $ X$.

Pour cela soit $ U$ un ouvert de $ X$, et $ K$ un compact de $ X$, de complémentaire $ V$. $ U \cap V$ est l'intersection d'un ouvert avec $ V \setminus K$ qui est un ouvert; donc c'est un ouvert de $ X$. Et $ U \cup V$ est le complémentaire de $ K \cap U'$, avec $ U'$ le complémentaire de $ U$ dans $ \tilde X$.

$ \bullet $Montrons que $ X$ est dense dans $ \tilde X$. Pour le voir il suffit de voir que tout voisinage de $ \infty$ intersecte $ X$; ce qui est clair car $ X$ n'est pas compact1.2.

$ \bullet $On va maintenant montrer que $ X$ est homéomorphe à un sous-espace de $ \tilde X$. L'identité de $ X$ dans $ \tilde X$ est injective. Les ouverts de $ \tilde X$ inclus dans $ X$ étant exactement les ouverts de $ X$, il est clair qu'il s'agit bien d'un homéomorphisme.

$ \bullet $Montrons maintenant que $ \tilde X$ est séparé (premier pas pour montrer qu'il est compact). On peut séparer deux points de $ X$ par des ouverts, puisque $ X$ est séparé. Montrons maintenant qu'on peut séparer un point $ x \in X$ de $ \infty$. On se donne pour cela $ K$ un voisinage compact de $ x$, ce qui peut se faire puisque $ X$ est localement compact. $ Int K$ et $ \tilde X \setminus K$ sont des ouverts séparant $ x$ et $ \infty$.

$ \bullet $Montrons maintenant que $ \tilde X$ vérifie la propriété de Borel-Lebesgue, c'est à dire que de tout recouvrement d'ouverts de $ \tilde X$ on peut extraire un recouvrement fini. Soit $ X=\cup_{i\in I} U_i$, avec les $ U_i$ ouverts. Un certain $ U_{i_0}$ contient $ \infty$. Son complémentaire est compact, et recouvert par les $ U_j$, pour $ j\neq i_0$; on peut donc le recouvrir par les $ U_j$, pour $ j\in J$ fini. L'ensemble des $ U_i$ pour $ i\in J\cup\{i_0\}$ est un recouvrement fini de $ \tilde X$.

Exemple: $ \tilde {\mathbb{R}^n}$ est homéomorphe à la sphère unité de $ \mathbb{R}^{n+1}$ 1.3.

Théorème [Compactifié d'Alexandrov] Si $ X$ est un espace topologique non compact et localement compact, il existe un espace topologique $ \tilde X$ compact appelé compactifié d'Alexandrov de $ X$ et tel que:

$ \bullet $$ X$ est dense dans $ \tilde X$. $ \bullet $$ X$ est homéomorphe à un sous espace topologique de $ \tilde X$.



Notes

... compact1.2
Je souligne de temps à autre les endroits où s'appliquent les hypothèses
...\space 1.3
Cette sphère est de dimension topologique $ n$.

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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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