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Le cantor $ K_3$

Définition [Cantor $ K_3$] On note $ C_0$ l'ensemble $ [0,1]$.
On note $ C_1$ l'ensemble $ [0,\frac13]\cup[\frac23,1]$.
On note $ C_2$ l'ensemble $ [0,\frac19]\cup[\frac29,\frac39] \cup  [\frac69,\frac79]\cup[\frac89,\frac99]$
...
On note $ C_n$ l'ensemble $ \frac13.C_{n-1} \cup (C_{n-1}+2).\frac13$.

On note $ K_3$ l'intersection des $ C_n$, pour $ n\in \mathbb{N}$. On appelle cet ensemble ensemble triadique de Cantor.
On le munit d'une topologie en considérant la restriction de la distance usuelle à $ K_3$.

Figure: Construction de l'ensemble de Cantor. Les lignes successives représentent $ C_1$, $ C_2$, $ C_3$, $ C_4$.
\begin{figure}\begin{displaymath}
\epsfxsize =6cm
\epsfbox{cantor.eps}\end{displaymath}\end{figure}

Proposition L'ensemble triadique de Cantor $ K_3$ est aussi l'ensemble des réels de $ [0,1]$ dont le développement 3-adique ne comporte que des 0 ou des $ 2$.

Démonstration: Cela se prouve facilement en considérant l'intersection des $ C_i$ jusqu'à un certain rang, et en prenant la limite en l'infini.$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition L'ensemble triadique de Cantor $ K_3$ est compact.

Démonstration: $ K_3$ est fermé, car c'est une intersection de fermés, et borné car inclus dans $ [0,1]$. Donc il est compact, comme tout fermé borné de $ \mathbb{R}$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition L'ensemble triadique de Cantor $ K_3$ est de mesure nulle et d'intérieur vide.

Démonstration: $ K_3$ est mesurable, comme intersection dénombrable de fermé. La mesure de $ K_3$ est inférieure à la mesure de $ C_n$, pour tout $ n$; donc $ K_3$ est de mesure nulle. $ K_3$ est d'intérieur vide, sinon il ne serait pas de mesure nulle.$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition L'ensemble triadique de Cantor $ K_3$ est homéomorphe à $ \{0,1\}^\mathbb{N}$, ensemble des suites de $ \{0,1\}$, muni de la topologie produit de la topologie discrète sur $ \{0,1\}$.

Démonstration: Soit la fonction $ f$ qui à une suite $ u_n$ de $ \{0,1\}$ associe la somme des $ 2.u_n/3^n$. Cette fonction est injective, clairement. Elle est surjective (proposition [*]). Voyons maintenant la continuité de $ f$; en fait on va considérer la continuité de $ f^{-1}$. Pour cela on considère l'image réciproque d'un ouvert non vide de la base d'ouverts de la topologie produit constituée des produits d'ouverts tels qu'un nombre fini d'ouverts seulement soient différents de $ \{0,1\}$. Il est suffisant pour que l'image réciproque de $ x$ soit dans cet ouvert que les premiers chiffres soient les mêmes, et donc que la distance soit suffisamment petite.
Enfin toute fonction continue bijective d'un compact dans un séparé est un homéomorphisme (d'après le corollaire [*]), ce qui permet de conclure.$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition L'ensemble triadique de Cantor $ K_3$ est totalement discontinu, ce qui signifie que la composante connexe d'un point est réduite à ce point.

Il suffit de montrer qu'étant donnés $ x$ et $ y$ dans $ K_3$, il existe deux ouverts fermés disjoints contenant l'un $ x$ et l'autre $ y$. En effet ainsi la composante connexe de $ x$ sera différente de la composante connexe de $ y$.
Pour cela on peut considérer indifférement $ K_3$ comme le produit $ \{0,1\}^n$ ou comme l'intersection des $ C_n$; dans le premier cas il suffit de considérer le premier rang auquel les deux suites diffèrent, dans le deuxième cas, le premier chiffre dans le développement triadique pour lequel $ x$ et $ y$ diffèrent.$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition L'ensemble triadique de Cantor $ K_3$ ne comporte pas de point isolé.

On note qu'un ensemble parfait est un ensemble fermé et dépourvu de point isolé.
$ K_3$ sera donc un ensemble parfait.
Démonstration: Facile, soit en considérant un ouvert de la base d'ouverts dans le cas du produit $ \{0,1\}^\mathbb{N}$, soit en considérant l'intersection d'une boule ouverte avec $ K_3$ dans le cas de l'intersection des $ C_n$ (bien entendu, une seule de ces deux preuves suffit!).$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition $ K_3$ et $ \emptyset$ sont les deux seuls compacts $ K$ inclus dans $ [0,1]$ qui vérifient

$\displaystyle K.\frac13 \cup (K.\frac13+\frac23)=K$


Démonstration: Il est facile de vérifier que $ \emptyset$ et $ K_3$ sont des solutions de l'équation donnée.
On considère maintenant l'ensemble $ K([0,1])$ des compacts non vides inclus dans $ [0,1]$, et l'application $ f$ qui à un compact $ K$ associe $ K.\frac13 + K.\frac13+\frac23$.
Cette application associe bien un compact inclus dans $ [0,1]$ à un compact inclus dans $ [0,1]$. On va considérer un compact $ A$ donné, non vide, et on va montrer que $ f^n(A)$ tend vers $ K_3$ pour la distance de Hausdorff.

Définition [Définition de la distance de Hausdorff] On définit tout d'abord:

$\displaystyle V_\epsilon(A)=\{ x \vert d(x,A)<\epsilon\}$

$ V_\epsilon(A)$ est appelé $ \epsilon $-voisinage ouvert de $ A$. Il est ouvert par la proposition [*].
Ensuite on note $ D(A,B)$ et on appelle distance de Hausdorff le réel

$\displaystyle D(A,B)=inf\{x / A \subset V_x(B) \land B \subset V_x(A)\}$

défini sur l'ensemble $ K(E)$ des compacts non vides d'un espace métrique $ E$ donné.
Il s'agit bien d'une distance;
$ \bullet $$ D(A,B)>=0$ et $ D(A,B) < \infty$ est clair
$ \bullet $$ D(A,B)=0$ $ \rightarrow$$ A=B$ est clair
$ \bullet $l'inégalité triangulaire se vérifie facilement
Proposition
Si $ E$ est un espace métrique complet, alors l'ensemble des compacts non vides de $ E$ muni de la distance de Hausdorff est complet.

Démonstration: Soit $ K_n$ une suite de Cauchy dans l'ensemble des compacts non vides de $ E$.
Alors il existe une suite $ \epsilon_N\rightarrow 0$ telle que

$\displaystyle \forall k,n > N  D(K_k,K_n)<\epsilon_N$

et donc

$\displaystyle \forall k,n > N  K_k \subset V_{\epsilon_N}(K_n)$

On considère alors $ K$ l'ensemble des $ x$ tels qu'il existe une suite $ x_n$ telle que $ x_n \in K_n$ et $ x_n$ admet $ x$ pour valeur d'adhérence.
$ K$ est fermé. En effet:
- soit $ y_\infty$ dans $ \overline K$. Il existe $ (y_m)$ suite dans $ K$ tendant vers $ y_\infty$.
- $ y_m$ est limite d'une certaine suite d'éléments $ x_n$ tels que $ x_n \in K_n$. On considère une suite extraite $ x_{n_m}$ telle que $ d(x_{n_m},y_m) \to 0$ comme $ m\to\infty$. On définit $ x_n$ pour $ n$ n'appartenant pas à l'ensemble des $ n_m$, en le choisissant de manière quelconque dans $ K_n$.
Alors

$\displaystyle d(x_{n_m},y_\infty)\leq d(y_m,y_\infty)+d(x_{n,m},y_m)\to 0$

Donc $ y_\infty$ est valeur d'adhérence des $ x_n$, donc $ y_\infty\in K$. D'où $ \overline K \subset K$, et donc $ K$ est fermé. Fermé d'un complet, il est donc aussi complet.

$ K$ est aussi précompact. En effet: - Soit $ \epsilon >0$.
- Il existe clairement $ N$ tel que $ K$ soit inclus dans $ V_\epsilon(K_N)$.
- pour tout $ y$ dans $ K$, il existe $ x_y$ dans $ K_N$ tel que $ d(y,x_y) < \epsilon$.
- On peut construire sur $ K_n$ (puisqu'il est compact) un recouvrement fini par des boules centrés sur les $ z_i$ de rayon $ \epsilon $.
- Les boules centrées sur les $ z_i$ de rayon $ 2\epsilon$ recouvrent donc $ K$. On peut supprimer les $ z_i$ inutiles, ie tels que $ B(z_i,2\epsilon)\cap K=\emptyset$. Il reste les $ z_i$, pour, disons, $ i\in [1,M]$.
- On peut alors déterminer, pour tout $ i\in [1,M]$, un élément $ z'_i$ de $ K$ à distance $ <2\epsilon$ de $ z_i$ (puisqu'on a supprimé les $ z_i$ inutiles).
- Les boules centrées sur les $ z_i'$ et de rayon $ 4\epsilon$ montrent alors que $ K$ est précompact.
Précompact et complet, $ K$ est donc compact (voir théorème [*]).

Il convient de montrer que $ K$ est non vide, ce qui sera fait en même temps que la preuve de la convergence des $ K_n$ ci-dessous (en effet $ K_n$ sera inclus dans $ V_\epsilon(K)$).
$ K$ est limite des $ K_n$ pour la distance de Hausdorff; pour le montrer il faut voir que pour tout $ \epsilon $ il existe un $ N$ tel que pour $ n\geq N$ on ait
$ \bullet $ $ K \subset V_\epsilon(K_n)$ (trivial)
$ \bullet $ $ K_n \subset V_\epsilon(K)$ : pour cela on considère $ x$ dans $ K_n$, avec $ n$ tel que $ \epsilon_n \leq \epsilon$.
On considère alors
$ \bullet $$ n_0>n$ tel que $ \epsilon_{n_0} \leq \epsilon/2^1$, et $ x_{n_0}$ dans $ K_{n_0}$, tel que $ d(x,x_{n_0})\leq \epsilon/2^0$
$ \bullet $$ n_1>n_0$ tel que $ \epsilon_{n_1} \leq \epsilon/2^2$, et $ x_{n_1}$ dans $ K_{n_1}$, tel que $ d(x_{n_0},x_{n_1})\leq \epsilon/2^1$
$ \bullet $$ n_2>n_1$ tel que $ \epsilon_{n_2} \leq \epsilon/2^3$, et $ x_{n_2}$ dans $ K_{n_2}$, tel que $ d(x_{n_1},x_{n_2}\leq \epsilon/2^2$
...
$ \bullet $ $ n_p>n_{p-1}$ tel que $ \epsilon_{n_p} \leq \epsilon/2^{p+1}$, et $ x_p$ dans $ K_{n_p}$, tel que $ d(x_{n_{p-1}},x_{n_p})\leq \epsilon/2^p$
...
La suite des $ x_{n_p}$ est de Cauchy, donc elle converge vers un certain $ y$; en sommant les distances ont montre facilement que $ d(x,y)\leq 2.\epsilon$. Pour compléter la suite des $ x_n$ pour $ n_p \leq n \leq n_{p+1}$, il suffit de prendre un point quelconque dans $ K_n$.$ \sqcap$$ \sqcup$
On peut maintenant terminer notre démonstration sur le fait que $ K_3$ est le seul compact non vide tel que $ K_3=f(K_3)$.
On montre facilement que $ f$ est contractante de rapport $ \frac13$ pour la distance de Hausdorff. On peut donc conclure par le théorème du point fixe [*]; $ K$ est le seul compact non vide satisfaisant à l'équation.$ \sqcap$$ \sqcup$

Une autre propriété est le fait que pour $ E$ métrique compact, $ K(E)$ est compact.

On peut utiliser le Cantor triadique $ K_3$ pour construire une fonction continue, croissante, dérivable presque partout, de dérivée nulle presque partout, et poutant non constante (égale à 0 en 0 et à $ 1$ en $ 1$).


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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