On se donne un espace vectoriel de dimension finie .
On appelle l'ensemble des sous-espaces vectoriels de . Alors
on définit la distance sur par
Définition
Cette distance est appelée distance de Grassman.
Proposition
La distance de Grassman bien une distance.
Démonstration:En effet :
est bien positive (facile)
est symétrique (encore plus facile)
implique
or
et donc
et donc
; de même on
obtiendrait
; et donc au final .
Il reste à montrer l'inégalité triangulaire.
Pour cela on aura besoin de la définition suivante:
Définition
On appelle chaîne entre les sous-espaces vectoriels et
une suite finie de sous-espaces vectoriels , le premier étant ,
le dernier étant , et chaque élément de la chaîne
étant un hyperplan du sous-espace vectoriel suivant, ou au contraire
le sous-espace vectoriel suivant étant un hyperplan de ce sous-espace vectoriel ; formellement
cela signifie qu'il existe
tels que
, , et pour tout
,
est un hyperplan de ou est un
hyperplan de .
est appelé longueur de la chaîne.
On procède par étapes:
- Si
, il y a entre et une chaîne de longueur
.
- Dans le cas général il y a entre et une chaîne de longueur (facile
en passant par l'espace - il suffit de se rappeler que
). On va maintenant se préoccuper de montrer que cette chaîne est de longueur
minimale.
- Si on a une chaîne , avec et hyperplans de (c'est-à-dire que est le plus grand de nos éléments , et ), alors on a aussi une chaîne
, à moins que .
- Si on a une chaîne, on peut la remplacer par une chaîne de même longueur entre les deux mêmes sous-espaces vectoriels et de manière à avoir des inclusions décroissantes puis croissantes.
- la longueur d'une chaîne entre et est au moins . On sait donc, avec le résultat obtenu plus haut, que est la longueur minimale d'une chaîne entre et .
On peut remarquer qu'on aurait pu raisonner de même en utilisant une chaîne croissante puis décroissante en passant par au lieu de décroissante puis croissante en passant par .
- l'inégalité triangulaire en résulte aisément.
Proposition
Pour la distance de Grassman, tout isomorphisme algébrique est une isométrie.
Démonstration:Facile, puisque la distance de Grassman ne dépend que de dimension d'espaces,
qui est préservé par isomorphisme algébrique.