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Une distance sur les sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel de dimension finie

On se donne $ E$ un espace vectoriel de dimension finie $ n$. On appelle $ S$ l'ensemble des sous-espaces vectoriels de $ E$. Alors on définit la distance $ d$ sur $ S$ par

$\displaystyle d(F,G)=dim (F+G)-dim(F \cap G)$

Définition Cette distance est appelée distance de Grassman.

Proposition La distance de Grassman bien une distance.

Démonstration: En effet :

$ \bullet $$ d$ est bien positive (facile)

$ \bullet $$ d$ est symétrique (encore plus facile)

$ \bullet $$ d(F,G)=0$ implique $ dim F \cap G = dim F + G$ or $ F \cap G \subset F \subset F +G$ et donc $ F \cap G=F$ et donc $ F \subset G$; de même on obtiendrait $ G \subset F$; et donc au final $ F=G$.

$ \bullet $Il reste à montrer l'inégalité triangulaire. Pour cela on aura besoin de la définition suivante:

Définition On appelle chaîne entre les sous-espaces vectoriels $ F$ et $ G$ une suite finie de sous-espaces vectoriels , le premier étant $ F$, le dernier étant $ G$, et chaque élément de la chaîne étant un hyperplan du sous-espace vectoriel suivant, ou au contraire le sous-espace vectoriel suivant étant un hyperplan de ce sous-espace vectoriel ; formellement cela signifie qu'il existe $ F_1,...,F_p$ tels que $ F=F_1$, $ G=F_p$, et pour tout $ i\in [1,p-1]$, $ F_i$ est un hyperplan de $ F_{i+1}$ ou $ F_{i+1}$ est un hyperplan de $ F_i$.

$ p$ est appelé longueur de la chaîne.


On procède par étapes:

- Si $ F \subset G$, il y a entre $ F$ et $ G$ une chaîne de longueur $ dim G-dim F$.

- Dans le cas général il y a entre $ F$ et $ G$ une chaîne de longueur $ d(F,G)$ (facile en passant par l'espace $ F\cap G$ - il suffit de se rappeler que $ dim F+G=dim F + dim  G - dim F\cap G$). On va maintenant se préoccuper de montrer que cette chaîne est de longueur minimale.

- Si on a une chaîne $ A,B,C$, avec $ A$ et $ C$ hyperplans de $ B$ (c'est-à-dire que $ B$ est le plus grand de nos $ 3$ éléments $ A$, $ B$ et $ C$), alors on a aussi une chaîne $ A,A\cap C,C$, à moins que $ A=C$.

- Si on a une chaîne, on peut la remplacer par une chaîne de même longueur entre les deux mêmes sous-espaces vectoriels et de manière à avoir des inclusions décroissantes puis croissantes.

- la longueur d'une chaîne entre $ F$ et $ G$ est au moins $ d(F,G)$. On sait donc, avec le résultat obtenu plus haut, que $ d(F,G)$ est la longueur minimale d'une chaîne entre $ F$ et $ G$. On peut remarquer qu'on aurait pu raisonner de même en utilisant une chaîne croissante puis décroissante en passant par $ F+G$ au lieu de décroissante puis croissante en passant par $ F\cap G$.

- l'inégalité triangulaire en résulte aisément.$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition Pour la distance de Grassman, tout isomorphisme algébrique est une isométrie.

Démonstration: Facile, puisque la distance de Grassman ne dépend que de dimension d'espaces, qui est préservé par isomorphisme algébrique.$ \sqcap$$ \sqcup$


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C.Antonini_JF.Quint_P.Borgnat_J.Bérard_E.Lebeau_E.Souche_A.Chateau_O.Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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