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Une distance sur les sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel de dimension finie

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Une distance sur les sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel de dimension finie

On se donne un espace vectoriel de dimension finie . On appelle l'ensemble des sous-espaces vectoriels de . Alors on définit la distance sur par

$\displaystyle d(F,G)=dim (F+G)-dim(F \cap G)$

Définition Cette distance est appelée distance de Grassman.

Proposition La distance de Grassman bien une distance.

Démonstration: En effet :

$\bullet$ est bien positive (facile)

$\bullet$ est symétrique (encore plus facile)

$\bullet$ implique $dim F \cap G = dim F + G$ or $F \cap G \subset F \subset F +G$ et donc $F \cap G=F$ et donc $F \subset G$ ; de même on obtiendrait $G \subset F$ ; et donc au final .

$\bullet$ Il reste à montrer l'inégalité triangulaire. Pour cela on aura besoin de la définition suivante:

Définition On appelle chaîne entre les sous-espaces vectoriels et une suite finie de sous-espaces vectoriels , le premier étant , le dernier étant , et chaque élément de la chaîne étant un hyperplan du sous-espace vectoriel suivant, ou au contraire le sous-espace vectoriel suivant étant un hyperplan de ce sous-espace vectoriel ; formellement cela signifie qu'il existe tels que , , et pour tout $i\in [1,p-1]$ , est un hyperplan de $F_{i+1}$ ou $F_{i+1}$ est un hyperplan de .

est appelé longueur de la chaîne.

On procède par étapes:

- Si $F \subset G$ , il y a entre et une chaîne de longueur .

- Dans le cas général il y a entre et une chaîne de longueur (facile en passant par l'espace $F\cap G$ - il suffit de se rappeler que $dim F+G=dim F + dim G - dim F\cap G$ ). On va maintenant se préoccuper de montrer que cette chaîne est de longueur minimale.

- Si on a une chaîne , avec et hyperplans de (c'est-à-dire que est le plus grand de nos éléments , et ), alors on a aussi une chaîne $A,A\cap C,C$ , à moins que .

- Si on a une chaîne, on peut la remplacer par une chaîne de même longueur entre les deux mêmes sous-espaces vectoriels et de manière à avoir des inclusions décroissantes puis croissantes.

- la longueur d'une chaîne entre et est au moins . On sait donc, avec le résultat obtenu plus haut, que est la longueur minimale d'une chaîne entre et . On peut remarquer qu'on aurait pu raisonner de même en utilisant une chaîne croissante puis décroissante en passant par au lieu de décroissante puis croissante en passant par $F\cap G$ .

- l'inégalité triangulaire en résulte aisément. $\sqcap$ $\sqcup$

Proposition Pour la distance de Grassman, tout isomorphisme algébrique est une isométrie.

Démonstration: Facile, puisque la distance de Grassman ne dépend que de dimension d'espaces, qui est préservé par isomorphisme algébrique. $\sqcap$ $\sqcup$