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Points fixes

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Sous-sections

$\boxcircle$ Point fixe d'un endomorphisme dans un compact convexe
$\boxcircle$ Un théorème de point fixe dans un espace de Hilbert

Points fixes

$\boxcircle$ Point fixe d'un endomorphisme dans un compact convexe

Lemme

Soit un compact convexe d'un espace vectoriel normé , et un endomorphisme continu de tel que $f(K) \subset K$ ; alors il existe $x\in K$ tel que .

Démonstration:

$\bullet$ On se donne $x_0\in K$ , et on définit la suite par $x_{n+1}=f(x_n)$ .

$\bullet$ On définit alors $y_n=\frac1n\sum_{i=0}^{n-1} x_n$ ; $y_n\in K$ par convexité de .

$\bullet$ Par compacité de , on peut extraire une suite convergente de la suite des (puisque est un espace vectoriel normé , donc un espace métrique, le théorème de Bolzano-Weierstrass s'applique).

$\bullet$ Soit la limite de cette suite.

$\bullet$ $f(y_n)-y_n=\frac{x_n-x_0}n$ ; la suite étant bornée (puisque est compact dans un métrique) et en passant à la limite puisque est continue . $\sqcap$ $\sqcup$

$\boxcircle$ Un théorème de point fixe dans un espace de Hilbert

Ce résultat est directement inspiré de la note "Un théorème de point fixe en dimension finie: application aux sous-groupes compacts de $\mathbb{R}^n$ ", de Richard Antetomaso, dans la 104ème intégrale de la Revue de Maths Spé, 1993-1994.

Théorème

On se donne un espace de Hilbert, et un compact convexe non vide de , et un sous-groupe compact de l'ensemble des automorphismes de (qui sont aussi des homéomorphismes). On suppose que pour tout dans , $g(K)\subset K$ . Alors il existe appartenant à point fixe commun, ie tel que $\forall g \in G,g(a)=a$ .

Il faut bien comprendre pour quelle topologie est compact. Il s'agit de la topologie produit de .

Démonstration:

$\bullet$ On définit sur une norme ${\parallel}. {\parallel}'$ définie par

$\displaystyle {\parallel}x {\parallel}' = \sup \{ {\parallel}g(x) {\parallel}/ g \in G\}$

Cette norme est bien définie et à valeurs finies, car est compact; utiliser le corollaire avec la fonction qui à associe ${\parallel}g(x) {\parallel}$ .

$\bullet$ Montrons qu'il s'agit bien d'une norme.

- ${\parallel}{\lambda}x {\parallel}' = \sup \{ {\parallel}g({\lambda}x) {\parallel}/ g \in G\}$

$\displaystyle =\sup \{ {\parallel}\vert{\lambda}\vert g({\lambda}x) {\parallel}/ g \in G\}$

$\displaystyle =\vert {\lambda}\vert \sup \{ {\parallel}g({\lambda}x) {\parallel}/ g \in G\}$

$\displaystyle =\vert {\lambda}\vert {\parallel}g(x) {\parallel}'$

- ${\parallel}x {\parallel}' =0$ implique clairement .

- Enfin,

$\displaystyle {\parallel}x+y {\parallel}'$

$\displaystyle =\sup \{ {\parallel}g( x + y) {\parallel}/ g \in G\}$

$\displaystyle ={\parallel}g_0(x+y) {\parallel}$

$\displaystyle \leq {\parallel}g_0(x) {\parallel}+ {\parallel}g_0(y) {\parallel}$

$\displaystyle \leq {\parallel}x {\parallel}' + {\parallel}y {\parallel}'$

car par hypothèse

est compact et une fonction continue sur un compact atteint ses bornes (voir corollaire

Le cas d'égalité est atteint si ${\parallel}g_0(x) {\parallel}+ {\parallel}g_0(y) {\parallel}={\parallel}g_0(x+y) {\parallel}$ , donc si et sont positivement liés (car est un espace de Hilbert), donc si et sont positivement liés puisque est un automorphisme ( les éléments de sont des automorphismes ). Cela signifie précisément que notre norme est strictement convexe.

$\bullet$ Supposons maintenant que $\forall x \exists g\in G / g(x)\not = x$ .

$\bullet$ Considérons, pour $g\in G$ , l'ensemble $\Omega_g$ des éléments de de tels que $g(x)\neq x$ .

$\bullet$ $\forall g \Omega_g$ est ouvert, puisque , l'identité, et l'addition sont continues
( est continue par hypothèse, l'identité est continue^1.4, et voir la proposition pour vérifier que l'addition est bien continue).

$\bullet$ Les $\Omega_g$ recouvrent (c'est ce qu'on a supposé ci-dessus).

$\bullet$ Par définition des compacts, et puisque est compact, on peut extraire un recouvrement fini $K=\cup_{i\in [1,n]} \Omega_{g_i}$ . On note que $n\geq 1$ , car est non vide.

$\bullet$ On applique alors le lemme à l'endomorphisme continu $x\mapsto \frac1n g_1(x)+\dots+g_n(x)$ (de dans , bien défini par convexité de ), continue par continuité des . On en déduit qu'il existe tel que $nx=\sum_{i} g_i(x)$ .

$\bullet$ On a alors $n{\parallel}x {\parallel}' \leq \sum_i {\parallel}g_i(x) {\parallel}= n {\parallel}x {\parallel}$ (car
les sont des isométries et car les isomorphismes d'espaces de Hilbert sont des isométries.).

$\bullet$ On a montré plus haut que la norme était strictement convexe; donc pour avoir le cas d'égalité ci-dessus il faut que les soient positivement liés; or ils ont tous même norme, puisque les sont des isométries; donc tous les sont égaux.

$\bullet$ Du coup pour tout dans , ; donc . D'où la contradiction; n'appartient pas à l'union des $\Omega_{g_i}$ , alors qu'il appartient à , et que ces $\Omega_{g_i}$ recouvrent . $\sqcap$ $\sqcup$