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Sous-sections


Points fixes

$ \boxcircle$ Point fixe d'un endomorphisme dans un compact convexe

Lemme

Soit $ K$ un compact convexe d'un espace vectoriel normé $ E$, et $ f$ un endomorphisme continu de $ E$ tel que $ f(K) \subset K$; alors il existe $ x\in K$ tel que $ f(x)=x$.


Démonstration:

$ \bullet $On se donne $ x_0\in K$, et on définit la suite $ (x_n)$ par $ x_{n+1}=f(x_n)$.

$ \bullet $On définit alors $ y_n=\frac1n\sum_{i=0}^{n-1} x_n$; $ y_n\in K$ par convexité de $ K$.

$ \bullet $Par compacité de $ K$, on peut extraire une suite convergente de la suite des $ (y_n)$ (puisque $ E$ est un espace vectoriel normé , donc un espace métrique, le théorème de Bolzano-Weierstrass [*] s'applique).

$ \bullet $Soit $ y$ la limite de cette suite.

$ \bullet $ $ f(y_n)-y_n=\frac{x_n-x_0}n$; la suite $ (x_n)$ étant bornée (puisque $ K$ est compact dans un métrique) et en passant à la limite puisque $ f$ est continue $ f(y)=y$.$ \sqcap$$ \sqcup$

$ \boxcircle$ Un théorème de point fixe dans un espace de Hilbert

Ce résultat est directement inspiré de la note "Un théorème de point fixe en dimension finie: application aux sous-groupes compacts de $ \mathbb{R}^n$", de Richard Antetomaso, dans la 104ème intégrale de la Revue de Maths Spé, 1993-1994.

Théorème

On se donne $ H$ un espace de Hilbert, et $ K$ un compact convexe non vide de $ H$, et un sous-groupe compact $ G$ de l'ensemble des automorphismes de $ H$ (qui sont aussi des homéomorphismes). On suppose que pour tout $ g$ dans $ G$, $ g(K)\subset K$. Alors il existe $ a$ appartenant à $ H$ point fixe commun, ie tel que $ \forall g \in G,g(a)=a$.


Pour y voir plus clair Il faut bien comprendre pour quelle topologie $ G$ est compact. Il s'agit de la topologie produit de $ H^H$.

Démonstration:

$ \bullet $On définit sur $ H$ une norme $ {\parallel}. {\parallel}'$ définie par

$\displaystyle {\parallel}x {\parallel}' = \sup \{ {\parallel}g(x) {\parallel}/ g \in G\}$

Cette norme est bien définie et à valeurs finies, car $ G$ est compact; utiliser le corollaire [*] avec la fonction qui à $ g$ associe $ {\parallel}g(x) {\parallel}$.

$ \bullet $Montrons qu'il s'agit bien d'une norme.

- $ {\parallel}{\lambda}x {\parallel}' = \sup \{ {\parallel}g({\lambda}x) {\parallel}/ g \in G\}$

$\displaystyle =\sup \{ {\parallel}\vert{\lambda}\vert g({\lambda}x) {\parallel}/ g \in G\}$

$\displaystyle =\vert {\lambda}\vert \sup \{ {\parallel}g({\lambda}x) {\parallel}/ g \in G\}$

$\displaystyle =\vert {\lambda}\vert {\parallel}g(x) {\parallel}'$

- $ {\parallel}x {\parallel}' =0$ implique clairement $ x=0$.

- Enfin,

$\displaystyle {\parallel}x+y {\parallel}'$

$\displaystyle =\sup \{ {\parallel}g( x + y) {\parallel}/ g \in G\}$

$\displaystyle ={\parallel}g_0(x+y) {\parallel}$

$\displaystyle \leq {\parallel}g_0(x) {\parallel}+ {\parallel}g_0(y) {\parallel}$

$\displaystyle \leq {\parallel}x {\parallel}' + {\parallel}y {\parallel}'$

car par hypothèse $ G$ est compact et une fonction continue sur un compact atteint ses bornes (voir corollaire [*]).

Le cas d'égalité est atteint si $ {\parallel}g_0(x) {\parallel}+ {\parallel}g_0(y) {\parallel}={\parallel}g_0(x+y) {\parallel}$, donc si $ g_0(x)$ et $ g_0(y)$ sont positivement liés (car $ H$ est un espace de Hilbert), donc si $ x$ et $ y$ sont positivement liés puisque $ g_0$ est un automorphisme ( les éléments de $ G$ sont des automorphismes ). Cela signifie précisément que notre norme est strictement convexe.

$ \bullet $Supposons maintenant que $ \forall x \exists g\in G / g(x)\not = x$.

$ \bullet $Considérons, pour $ g\in G$, l'ensemble $ \Omega_g$ des éléments de $ x$ de $ K$ tels que $ g(x)\neq x$.

$ \bullet $ $ \forall g \Omega_g$ est ouvert, puisque $ g$, l'identité, et l'addition sont continues
($ g$ est continue par hypothèse, l'identité est continue1.4, et voir la proposition [*] pour vérifier que l'addition est bien continue).

$ \bullet $Les $ \Omega_g$ recouvrent $ K$ (c'est ce qu'on a supposé ci-dessus).

$ \bullet $Par définition des compacts, et puisque $ K$ est compact, on peut extraire un recouvrement fini $ K=\cup_{i\in [1,n]} \Omega_{g_i}$. On note que $ n\geq 1$, car $ K$ est non vide.

$ \bullet $On applique alors le lemme [*] à l'endomorphisme continu $ x\mapsto \frac1n g_1(x)+\dots+g_n(x)$ (de $ K$ dans $ K$, bien défini par convexité de $ K$), continue par continuité des $ g_i$. On en déduit qu'il existe $ x$ tel que $ nx=\sum_{i} g_i(x)$.

$ \bullet $On a alors $ n{\parallel}x {\parallel}' \leq \sum_i {\parallel}g_i(x) {\parallel}= n {\parallel}x {\parallel}$ (car
les $ g_i$ sont des isométries et car les isomorphismes d'espaces de Hilbert sont des isométries.).

$ \bullet $On a montré plus haut que la norme était strictement convexe; donc pour avoir le cas d'égalité ci-dessus il faut que les $ g_i(x)$ soient positivement liés; or ils ont tous même norme, puisque les $ g_i$ sont des isométries; donc tous les $ g_i(x)$ sont égaux.

$ \bullet $Du coup pour tout $ i$ dans $ [1,n]$, $ ng_i(x)=nx$; donc $ g_i(x)=x$. D'où la contradiction; $ x$ n'appartient pas à l'union des $ \Omega_{g_i}$, alors qu'il appartient à $ X$, et que ces $ \Omega_{g_i}$ recouvrent $ K$.$ \sqcap$$ \sqcup$



Notes

... continue1.4
L'image réciproque de tout ouvert est bien un ouvert!

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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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