Soit un compact convexe d'un espace vectoriel normé , et un endomorphisme continu de tel que
; alors il existe tel que .
Démonstration:
On se donne , et on définit la suite par
.
On définit alors
; par convexité de .
Par compacité de , on peut extraire une suite convergente de la suite des (puisque est un espace vectoriel normé , donc un espace métrique, le théorème de Bolzano-Weierstrass s'applique).
Soit la limite de cette suite.
; la suite étant bornée (puisque est compact dans un métrique) et en passant à la limite puisque est continue.
Ce résultat est directement inspiré de la note "Un théorème de point fixe
en dimension finie: application aux sous-groupes compacts de
", de Richard Antetomaso, dans la 104ème intégrale de la Revue de Maths Spé, 1993-1994.
Théorème
On se donne un espace de Hilbert, et un compact convexe non vide de , et un sous-groupe compact de l'ensemble des automorphismes de (qui sont aussi des homéomorphismes). On suppose que pour tout dans ,
. Alors il existe appartenant à point fixe commun, ie tel que
.
Il faut bien comprendre pour quelle topologie est compact. Il s'agit de la topologie produit de .
Démonstration:
On définit sur une norme
définie par
Cette norme est bien définie et à valeurs finies, car est compact; utiliser le corollaire avec la fonction qui à associe
.
Montrons qu'il s'agit bien d'une norme.
-
-
implique clairement .
- Enfin,
car par hypothèse est compact et une fonction continue sur un compact atteint ses bornes (voir corollaire ).
Le cas d'égalité est atteint si
, donc si et sont positivement liés (car est un espace de Hilbert), donc si et sont positivement liés puisque est un automorphisme ( les éléments de sont des automorphismes ). Cela signifie précisément que notre norme est strictement convexe.
Supposons maintenant que
.
Considérons, pour , l'ensemble des éléments de de
tels que
.
est ouvert, puisque , l'identité, et l'addition sont continues
( est continue par hypothèse, l'identité est continue1.4, et voir la proposition pour vérifier que l'addition est bien continue).
Les recouvrent (c'est ce qu'on a supposé ci-dessus).
Par définition des compacts, et puisque est compact, on peut extraire un recouvrement fini
. On note que , car est non vide.
On applique alors le lemme à l'endomorphisme continu
(de dans , bien défini par convexité de ), continue par continuité des . On en déduit qu'il existe tel que
.
On a alors
(car
les sont des isométries et car les isomorphismes d'espaces de Hilbert sont des isométries.).
On a montré plus haut que la norme était strictement convexe; donc pour avoir le cas d'égalité ci-dessus il faut que les soient positivement liés; or ils ont tous même norme, puisque les sont des isométries; donc tous les sont égaux.
Du coup pour tout dans ,
; donc . D'où la contradiction; n'appartient pas à l'union des
, alors qu'il appartient à , et que ces
recouvrent .