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$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ est $C^\infty$ et $\forall x \exists n / f^{(n)}(x)=0$ , alors est polynomiale

Proposition $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ est $C^\infty$ et $\forall x \exists n / f^{(n)}(x)=0$ , alors est polynomiale.

Cet exercice est extrait du livre [5]; nous avons tâché de préciser un peu plus les détails de la preuve.

Démonstration: $\bullet$ On considère $\Omega$ l'ensemble des points au voisinage desquels est polynomiale
$\bullet$ $\Omega$ est ouvert, car si $x\in \Omega$ , alors il existe ouvert contenant dans lequel tout point admet un voisinage sur lequel est polynomiale: il s'agit simplement de l'ouvert .
$\bullet$ Soit inclus dans $\Omega$ , alors il existe un polynôme tel que est égale à sur .
Pour le prouver on considère dans , un couple tel que sur et , et l'ensemble des $x \in ]x_0,v[$ tels que sur ; est non vide car contenant ; il est fermé dans par continuité; on montre facilement que si $x \in J$ alors $]x-\epsilon,x+\epsilon[ \subset J$ pour un certain $\epsilon$ ; donc est ouvert dans ; donc par connexité. On a donc sur , et de même on aurait sur .
$\bullet$ Soit le complémentaire de $\Omega$ . est fermé. Montrons qu'il ne comporte pas de point isolé. S'il comporte un point isolé , on applique l'hypothèse et le développement de Taylor en , et on en déduit une contradiction.
$\bullet$ On suppose non vide pour arriver à une contradiction
$\bullet$ On définit l'ensemble des $x \in F$ tels que $f^{(n)}(x)=0$ .
$\bullet$ On montre qu'il existe un intervalle ouvert non vide dont l'intersection avec est incluse dans un certain $F_{n_0}$ .
Les sont fermés. Donc on applique le théorème de Baire dans ; il existe $F_{n_0}$ d'intérieur non vide. On peut alors choisir un intervalle ouvert d'intersection non vide avec , et cette intersection est incluse dans $F_{n_0}$ .
$\bullet$ $I \cap F \subset F_n$ $\forall n \geq n_0$
En effet soit $a \in I \cap F$ ; n'est pas isolé et est donc limite d'une suite d'éléments de différents de . Il suffit alors d'écrire la dérivée pour constater que $a \in F_{n_0+1}$ .
Par récurrence $I \cap F \subset F_n$ pour $n \geq n_0$ .
$\bullet$ On montre maintenant que $f_{n_0}$ est nulle sur toute composante connexe de $I\cap \Omega$ .
Tout d'abord $I\cap \Omega$ est non vide, sinon $I \subset F$ , puis $I \cap F=I$ .
$I\cap \Omega$ est ouvert; donc c'est une réunion disjointe d'intervalles ouverts. Soit une telle composante connexe. sur . $]u,v[ \neq I$ sinon $F \cap I = \emptyset$
Donc $u \in I$ ou $v\in I$ ; supposons $u \in I$ . Alors $u\in I \cap F$ , et $u \in F_n$ pour tout $n \geq n_0$ . Le degré de est donc inférieur à . Donc $f^{(n_0)}=0$ sur . Ca marche sur toutes les composantes connexes, donc $f^{(n_0)}=0$ sur $I\cap \Omega$ mais aussi sur $I \cap F$ . Donc $f^{(n_0)}$ est nulle sur , donc est un polynôme sur donc $I \subset \Omega$ , ce qui est impossible puisque $I \cap F \neq \emptyset$ . $\sqcap$ $\sqcup$