Cet exercice est extrait du livre [5]; nous avons tâché de préciser un peu plus les détails de la preuve.
Démonstration:On considère l'ensemble des points au voisinage desquels est polynomiale
est ouvert, car si
, alors il existe ouvert contenant dans lequel tout point
admet un voisinage sur lequel est polynomiale: il s'agit simplement de l'ouvert .
Soit inclus dans , alors il existe un polynôme tel que est égale à sur .
Pour le prouver on considère dans , un couple tel que sur et
, et l'ensemble des
tels que sur ; est non vide car contenant ; il est fermé dans par continuité; on montre facilement que si alors
pour un certain ; donc est ouvert dans ; donc par connexité. On a donc sur , et de même on aurait sur .
Soit le complémentaire de . est fermé. Montrons qu'il ne comporte pas de point isolé. S'il comporte un point isolé , on applique l'hypothèse et le développement de Taylor en , et on en déduit une contradiction.
On suppose non vide pour arriver à une contradiction
On définit l'ensemble des tels que
.
On montre qu'il existe un intervalle ouvert non vide dont l'intersection avec est incluse dans un certain .
Les sont fermés. Donc on applique le théorème de Baire dans ; il existe d'intérieur non vide. On peut alors choisir un intervalle ouvert d'intersection non vide avec , et cette intersection est incluse dans .
En effet soit
; n'est pas isolé et est donc limite d'une
suite d'éléments de différents de . Il suffit alors d'écrire la dérivée pour constater que
.
Par récurrence
pour
.
On montre maintenant que est nulle sur toute composante connexe de
.
Tout d'abord
est non vide, sinon
, puis
.
est ouvert; donc c'est une réunion disjointe d'intervalles ouverts. Soit une telle composante connexe. sur .
sinon
Donc ou ; supposons . Alors
, et pour tout
. Le degré de est donc inférieur à . Donc
sur . Ca marche sur toutes les composantes connexes, donc
sur
mais aussi sur .
Donc est nulle sur , donc est un polynôme sur donc
, ce qui est impossible puisque
.