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$ f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ est $ C^\infty$ et $ \forall x \exists n / f^{(n)}(x)=0$, alors $ f$ est polynomiale

Proposition $ f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ est $ C^\infty$ et $ \forall x \exists n / f^{(n)}(x)=0$, alors $ f$ est polynomiale.

Cet exercice est extrait du livre [5]; nous avons tâché de préciser un peu plus les détails de la preuve.

Démonstration: $ \bullet $On considère $ \Omega$ l'ensemble des points au voisinage desquels $ f$ est polynomiale
$ \bullet $$ \Omega$ est ouvert, car si $ x\in \Omega$, alors il existe $ V$ ouvert contenant $ x$ dans lequel tout point $ y$ admet un voisinage sur lequel $ f$ est polynomiale: il s'agit simplement de l'ouvert $ V$.
$ \bullet $Soit $ ]u,v[$ inclus dans $ \Omega$, alors il existe un polynôme $ P$ tel que $ f$ est égale à $ P$ sur $ [u,v]$.
Pour le prouver on considère $ x_0$ dans $ ]u,v[$, un couple $ (x_1,x_2)$ tel que $ f=P$ sur $ ]x_1,x_2[$ et $ x_1<x_0<x_2$, et l'ensemble $ J$ des $ x \in ]x_0,v[$ tels que $ f=P$ sur $ ]x_0,x[$; $ J$ est non vide car contenant $ x_2$; il est fermé dans $ ]x_0,v[$ par continuité; on montre facilement que si $ x \in J$ alors $ ]x-\epsilon,x+\epsilon[ \subset J$ pour un certain $ \epsilon $; donc $ J$ est ouvert dans $ ]x_0,v[$; donc $ J=]x_0,v[$ par connexité. On a donc $ f=P$ sur $ ]x_0,v[$, et de même on aurait $ f=P$ sur $ ]u,x_0[$.
$ \bullet $Soit $ F$ le complémentaire de $ \Omega$. $ F$ est fermé. Montrons qu'il ne comporte pas de point isolé. S'il comporte un point isolé $ a$, on applique l'hypothèse et le développement de Taylor en $ a$, et on en déduit une contradiction.
$ \bullet $On suppose $ F$ non vide pour arriver à une contradiction
$ \bullet $On définit $ F_n$ l'ensemble des $ x \in F$ tels que $ f^{(n)}(x)=0$.
$ \bullet $On montre qu'il existe un intervalle ouvert non vide dont l'intersection avec $ F$ est incluse dans un certain $ F_{n_0}$.
Les $ F_n$ sont fermés. Donc on applique le théorème de Baire [*] dans $ F$; il existe $ F_{n_0}$ d'intérieur non vide. On peut alors choisir un intervalle $ I$ ouvert d'intersection non vide avec $ F$, et cette intersection est incluse dans $ F_{n_0}$.
$ \bullet $ $ I \cap F \subset F_n$ $ \forall n \geq n_0$
En effet soit $ a \in I \cap F$; $ a$ n'est pas isolé et est donc limite d'une suite $ a_p$ d'éléments de $ F$ différents de $ a$. Il suffit alors d'écrire la dérivée pour constater que $ a \in F_{n_0+1}$.
Par récurrence $ I \cap F \subset F_n$ pour $ n \geq n_0$.
$ \bullet $On montre maintenant que $ f_{n_0}$ est nulle sur toute composante connexe de $ I\cap \Omega$.
Tout d'abord $ I\cap \Omega$ est non vide, sinon $ I \subset F$, puis $ I \cap F=I$.
$ I\cap \Omega$ est ouvert; donc c'est une réunion disjointe d'intervalles ouverts. Soit $ ]u,v[$ une telle composante connexe. $ f=P$ sur $ [u,v]$. $ ]u,v[ \neq I$ sinon $ F \cap I = \emptyset$
Donc $ u \in I$ ou $ v\in I$; supposons $ u \in I$. Alors $ u\in I \cap F$, et $ u \in F_n$ pour tout $ n \geq n_0$. Le degré de $ P$ est donc inférieur à $ n_0$. Donc $ f^{(n_0)}=0$ sur $ [u,v]$. Ca marche sur toutes les composantes connexes, donc $ f^{(n_0)}=0$ sur $ I\cap \Omega$ mais aussi sur $ I \cap F$. Donc $ f^{(n_0)}$ est nulle sur $ I$, donc $ f$ est un polynôme sur $ I$ donc $ I \subset \Omega$, ce qui est impossible puisque $ I \cap F \neq \emptyset$.$ \sqcap$$ \sqcup$


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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