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Les billards strictement convexes

Proposition Soit $ K$ un ensemble strictement convexe de $ \mathbb{R}^2$; on suppose que par tout point de la frontière de $ K$ il passe une unique tangente à $ K$. On définit une trajectoire périodique de période $ n$ par la donnée de $ n$ points $ a_0,\dots,a_{n-1}$ de la frontière de $ K$ tels que pour tout $ i\in [0,n-1]$ $ \theta_i=\theta_{i+1}$ (voir figure [*]) en notant $ a_n=a_0$.

Alors pour tout $ n \geq 2$ il existe des trajectoires périodiques de période $ n$.

Figure: Illustration de la définition d'une trajectoire périodique
\epsfig{file=bbillard.eps,width=8cm}

Démonstration:

$ \bullet $On se donne $ n \geq 2$.

$ \bullet $Notons $ \delta K$ la frontière de $ K$.

$ \bullet $On considère l'ensemble

$\displaystyle \tilde K=\{ (a_0,\dots,a_{n-1}) / \forall i a_i \in \delta K\}$

Il est égal à $ (\delta K)^n$.

$ \bullet $On définit $ f:\tilde K \to \mathbb{R}$ défini par

$\displaystyle f(a)=\sum_{i=0}^{n-1} \vert a_i-a_{i-1}\vert$

($ \vert.\vert$ désigne ici la norme euclidienne)

$ \bullet $$ f$ est $ C^0$ (par inégalité triangulaire)

$ \bullet $$ \tilde K$ est compact (comme produit de compacts - s'agissant d'un produit fini d'espaces métriques il n'est pas nécessaire d'invoquer Tykhonov, voir le paragraphe qui suit le théorème [*]).

$ \bullet $$ f$ atteint son maximum sur $ \tilde K$.

$ \bullet $Tout point où $ f$ atteint son maximum vérifie la propriété énoncée, comme le lecteur le vérifiera aisément.$ \sqcap$$ \sqcup$


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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