Proposition
Soit un ensemble strictement convexe de
; on suppose que par tout point de la frontière de il passe une unique tangente à . On définit une trajectoire périodique de période par la donnée de points
de la frontière de tels que pour tout
(voir figure ) en notant .
Alors pour tout il existe des trajectoires périodiques de période .
Figure:
Illustration de la définition d'une trajectoire périodique
Démonstration:
On se donne .
Notons la frontière de .
On considère l'ensemble
Il est égal à
.
On définit
défini par
( désigne ici la norme euclidienne)
est (par inégalité triangulaire)
est compact (comme produit de compacts - s'agissant d'un produit fini d'espaces métriques
il n'est pas nécessaire d'invoquer Tykhonov, voir le paragraphe qui suit le théorème ).
atteint son maximum sur .
Tout point où atteint son maximum vérifie la propriété énoncée, comme le lecteur le vérifiera aisément.
un ensemble strictement convexe de
; on suppose que par tout point de la frontière
par la donnée de 
de la frontière de ![$ i\in [0,n-1]$](/c/a/b/img453.png){kind=small}
(voir figure ![[*]](/images/crossref.png)
.
il existe des trajectoires périodiques de période 
On se donne 
la frontière de 
.
défini par
désigne ici la norme euclidienne)
est 
(par inégalité triangulaire)
est compact (comme produit de compacts - s'agissant d'un produit fini d'espaces métriques
il n'est pas nécessaire d'invoquer Tykhonov
