Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures

A lire

Deug/Prï¿½pa

Licence

Agrï¿½gation
A télécharger

Télécharger

personnes(s) sur le site en ce moment.

A. Grothendieck

Les maths pour l'agreg

A lire

Articles

Math/Infos

Rï¿½crï¿½ation
A télécharger

Télécharger

Thï¿½orï¿½me de Cantor-Bernstein

Théo. Sylow

Théo. Ascoli

Théo. Baire

Loi forte grd nbre

Nains magiques

suivant: Deux jolies inégalités géométriques monter: Zoologie de la topologie précédent: est et , alors Index

Les billards strictement convexes

Proposition Soit un ensemble strictement convexe de $\mathbb{R}^2$ ; on suppose que par tout point de la frontière de il passe une unique tangente à . On définit une trajectoire périodique de période par la donnée de points $a_0,\dots,a_{n-1}$ de la frontière de tels que pour tout $i\in [0,n-1]$ $\theta_i=\theta_{i+1}$ (voir figure ) en notant .

Alors pour tout $n \geq 2$ il existe des trajectoires périodiques de période .

Figure: Illustration de la définition d'une trajectoire périodique

$\epsfig{file=bbillard.eps,width=8cm}$

Démonstration:

$\bullet$ On se donne $n \geq 2$ .

$\bullet$ Notons $\delta K$ la frontière de .

$\bullet$ On considère l'ensemble

$\displaystyle \tilde K=\{ (a_0,\dots,a_{n-1}) / \forall i a_i \in \delta K\}$

Il est égal à $(\delta K)^n$ .

$\bullet$ On définit $f:\tilde K \to \mathbb{R}$ défini par

$\displaystyle f(a)=\sum_{i=0}^{n-1} \vert a_i-a_{i-1}\vert$

( $\vert.\vert$ désigne ici la norme euclidienne)

$\bullet$ est (par inégalité triangulaire)

$\bullet$ $\tilde K$ est compact (comme produit de compacts - s'agissant d'un produit fini d'espaces métriques il n'est pas nécessaire d'invoquer Tykhonov, voir le paragraphe qui suit le théorème ).