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Inégalité isopérimétrique

Lemme On se donne $ \Gamma $ une fonction $ C^1$ de $ [0,1]$ dans $ \mathbb{C}$. On suppose $ \int_0^1 \Gamma =0$. Alors

$\displaystyle 4\Pi^2\int_0^1 \vert\Gamma \vert^2 \leq \int_0^1 \vert\Gamma '\vert^2$

et il n'y a égalité que si $ \Gamma $ est une combinaison linéaire de $ e^{2i\Pi x}$ et $ e^{-2i\Pi x}$.

Démonstration: On procède comme suit:

$ \bullet $On considère $ \Gamma $ sur $ [0,1[$, et on considère sa série de Fourier.

$\displaystyle \Gamma (x)=\sum_{n\in \mathbb{Z}} c_ne^{2i\Pi nx}$

$ \bullet $On applique Parseval (théorème [*]);

$\displaystyle \int_0^1 \vert\Gamma \vert^2 = \sum_n c_n^2$

$ \bullet $On applique Parseval à la dérivée de $ \Gamma $, $ \Gamma '(x)=2i\Pi \sum_n nc_ne^{2i\Pi nx}$

$\displaystyle \int_0^1 \vert\Gamma '\vert^2 = 4\Pi^2 \sum_n (nc_n)^2$

$ \bullet $On sait que $ c_0=0$, car $ \int_0^1 \Gamma =0$.

$ \bullet $On a donc l'inégalité souhaitée, et le cas d'égalité.$ \sqcap$$ \sqcup$

Théorème [Inégalité isopérimétrique] La courbe $ C^1$ fermée du plan qui à longueur donnée délimite une aire maximale est le cercle.
Démonstration:

$ \bullet $On se donne une courbe fermée $ C^1$ $ \Gamma $ de $ [0,1]$ dans $ \mathbb{C}$.

$ \bullet $Quitte à reparamétrer, on suppose que $ \Gamma '$ est constant.

$ \bullet $Quitte à translater $ \Gamma $ on suppose que $ \int \Gamma =0$.

$ \bullet $On applique alors le théorème de Green-Riemann, qui affirme que l'aire $ A$ est donnée par la formule

$\displaystyle A=\frac12 \int xy'-x'y$

avec $ \Gamma =x+iy$, et $ x$ et $ y$ à valeurs réelles.

$ \bullet $Or

$\displaystyle \int \Gamma \overline {\Gamma '}=\int (x+iy).(x'-iy')$

$\displaystyle =\int xx'+yy'+iyx'-iy'x$

or $ \int xx'=\int yy'=0$ par périodicité donc

$\displaystyle \int \Gamma \overline {\Gamma '}=i\int yx'-y'x$

et donc

$\displaystyle 2A \leq \sqrt{\int \vert\Gamma \vert^2 } \sqrt{\int \vert\Gamma '\vert^2}$

$\displaystyle \leq \frac1{2\Pi}\int\vert\Gamma '\vert^2$

grâce au lemme précédent. Or $ \Gamma '$ étant constant, on obtient

$\displaystyle A \leq \frac{l^2}{4\Pi}$

avec $ l$ la longueur de l'arc.

$ \bullet $Il y a égalité si et seulement si l'inégalité de Cauchy-Schwartz est en fait une égalité, et donc si et seulement si on a non seulement tous les $ c_i$ nuls sauf $ c_1$ et $ c_{-1}$, mais aussi $ \Gamma $ et $ \Gamma '$ liés; la famille $ (x\mapsto e^{2i\Pi x},x \mapsto e^{-2i\Pi x})$ étant libre, on constate que les solutions se trouvent pour un des deux coefficients $ c_1$ et $ c_{-1}$ nul, c'est-à-dire que $ \Gamma $ est un cercle.$ \sqcap$$ \sqcup$


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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