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Inégalité isopérimétrique

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Inégalité isopérimétrique

Lemme On se donne $\Gamma$ une fonction de dans $\mathbb{C}$ . On suppose $\int_0^1 \Gamma =0$ . Alors

$\displaystyle 4\Pi^2\int_0^1 \vert\Gamma \vert^2 \leq \int_0^1 \vert\Gamma '\vert^2$

et il n'y a égalité que si $\Gamma$ est une combinaison linéaire de $e^{2i\Pi x}$ et $e^{-2i\Pi x}$ .

Démonstration: On procède comme suit:

$\bullet$ On considère $\Gamma$ sur , et on considère sa série de Fourier.

$\displaystyle \Gamma (x)=\sum_{n\in \mathbb{Z}} c_ne^{2i\Pi nx}$

$\bullet$ On applique Parseval (théorème );

$\displaystyle \int_0^1 \vert\Gamma \vert^2 = \sum_n c_n^2$

$\bullet$ On applique Parseval à la dérivée de $\Gamma$ , $\Gamma '(x)=2i\Pi \sum_n nc_ne^{2i\Pi nx}$

$\displaystyle \int_0^1 \vert\Gamma '\vert^2 = 4\Pi^2 \sum_n (nc_n)^2$

$\bullet$ On sait que , car $\int_0^1 \Gamma =0$ .

$\bullet$ On a donc l'inégalité souhaitée, et le cas d'égalité. $\sqcap$ $\sqcup$

Théorème [Inégalité isopérimétrique] La courbe fermée du plan qui à longueur donnée délimite une aire maximale est le cercle.
Démonstration:

$\bullet$ On se donne une courbe fermée $\Gamma$ de dans $\mathbb{C}$ .

$\bullet$ Quitte à reparamétrer, on suppose que $\Gamma '$ est constant.

$\bullet$ Quitte à translater $\Gamma$ on suppose que $\int \Gamma =0$ .

$\bullet$ On applique alors le théorème de Green-Riemann, qui affirme que l'aire est donnée par la formule

$\displaystyle A=\frac12 \int xy'-x'y$

avec $\Gamma =x+iy$ , et

à valeurs réelles.

$\bullet$ Or

$\displaystyle \int \Gamma \overline {\Gamma '}=\int (x+iy).(x'-iy')$

$\displaystyle =\int xx'+yy'+iyx'-iy'x$

or $\int xx'=\int yy'=0$ par périodicité donc

$\displaystyle \int \Gamma \overline {\Gamma '}=i\int yx'-y'x$

et donc

$\displaystyle 2A \leq \sqrt{\int \vert\Gamma \vert^2 } \sqrt{\int \vert\Gamma '\vert^2}$

$\displaystyle \leq \frac1{2\Pi}\int\vert\Gamma '\vert^2$

grâce au lemme précédent. Or $\Gamma '$ étant constant, on obtient

$\displaystyle A \leq \frac{l^2}{4\Pi}$

avec

la longueur de l'arc.

$\bullet$ Il y a égalité si et seulement si l'inégalité de Cauchy-Schwartz est en fait une égalité, et donc si et seulement si on a non seulement tous les nuls sauf et $c_{-1}$ , mais aussi $\Gamma$ et $\Gamma '$ liés; la famille $(x\mapsto e^{2i\Pi x},x \mapsto e^{-2i\Pi x})$ étant libre, on constate que les solutions se trouvent pour un des deux coefficients et $c_{-1}$ nul, c'est-à-dire que $\Gamma$ est un cercle. $\sqcap$ $\sqcup$