Lemme
On se donne une fonction de dans
.
On suppose
.
Alors
et il n'y a égalité que si est une combinaison linéaire de
et
.
Démonstration:On procède comme suit:
On considère sur , et on considère sa série de Fourier.
On applique Parseval (théorème );
On applique Parseval à la dérivée de ,
On sait que , car
.
On a donc l'inégalité souhaitée, et le cas d'égalité.
Théorème [Inégalité isopérimétrique]
La courbe fermée du plan qui à longueur donnée délimite une aire maximale
est le cercle.
Démonstration:
On se donne une courbe fermée de dans
.
Quitte à reparamétrer, on suppose que est constant.
Quitte à translater on suppose que
.
On applique alors le théorème de Green-Riemann, qui affirme que l'aire
est donnée par la formule
avec
, et et à valeurs réelles.
Or
or
par périodicité donc
et donc
grâce au lemme précédent.
Or étant constant, on obtient
avec la longueur de l'arc.
Il y a égalité si et seulement si l'inégalité de Cauchy-Schwartz
est en fait une égalité, et donc si et seulement si
on a non seulement tous les nuls sauf et ,
mais aussi et liés; la famille
étant libre, on constate que les solutions se trouvent pour un des deux coefficients et nul, c'est-à-dire que est un
cercle.