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Inégalité isodiamétrique

On considère l'espace $ \mathbb{R}^n$ muni de sa structure usuelle d'espace euclidien, et de la mesure de Lebesgue.

Théorème

Quel que soit $ K$ compact de $ \mathbb{R}^n$ de mesure finie, $ \mu(K)\leq \mu(B(0,\delta (K)/2))$, avec $ \delta (E)$ pour $ E$ une partie de $ \mathbb{R}^n$ le diamètre de $ E$, c'est à dire le $ sup$ des distances entre deux points de $ E$.


Pour y voir plus clair Cela revient à dire que le plus grand volume possible à diamètre donné est celui d'une boule.

Démonstration:

Nous aurons besoin de la définition suivante:

Définition

Etant donné $ K$ un compact de $ \mathbb{R}^n$, on appelle symétrisé de Steiner de $ K$ par rapport à l'hyperplan $ P$ l'ensemble

$\displaystyle S_P(K)=\{ x = p+tu/p\in P \land D(p,u)\cap K \not = 0 \land \vert t\vert\leq \frac12 \mu'(K \cap D(p,u) \}$

$ u$ désigne un vecteur directeur unitaire de la droite orthogonale à $ P$, et où $ D(p,u)$ désigne la droite de vecteur unitaire $ u$ passant par $ p$.

$ \mu'$ désigne la mesure de Lebesgue sur la droite $ D(p,u)$.


Lemme [Première propriété fondamentale du symétrisé de Steiner] Quel que soit $ K$ compact et $ P$ hyperplan, $ S_P(K)$ a même mesure que $ K$.

Démonstration: Il suffit de considérer le théorème de Fubini, appliqué à la fonction caractéristique de $ K$, pour voir que l'intégrale est l'intégrale sur $ p\in P$ de la mesure $ \mu'(K\cap D(p,u))$ (cette dernière quantité étant la mesure de $ \{ t \in \mathbb{R}/ \vert t\vert \leq \frac12\mu'( K\cap D(p,u))\}\subset \mathbb{R}$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Lemme [Deuxième propriété fondamentale du symétrisé de Steiner]

Quel que soit $ K$ compact et $ P$ hyperplan, $ S_P(K)$ a un diamètre inférieur ou égal à celui de $ K$.


Démonstration: On considère deux points $ x$ et $ y$ de $ S_P(K)$, à une distance $ d$ l'un de l'autre; on cherche à montrer qu'il existe deux points $ x'$ et $ y'$ de $ K$ à distance supérieure ou égale à $ d$.

$ \bullet $On note $ x_P$ et $ y_P$ les projetés orthogonaux de $ x$ et $ y$ sur $ P$.

$ \bullet $On note $ l_x$ et $ l_y$ les mesures de $ K\cap D(x,u)$ et $ K\cap D(y,u)$.

$ \bullet $On note $ d'$ la distance entre $ x_P$ et $ y_P$.

$ \bullet $$ d^2$ est majorée par $ d'^2+(l_x/2)^2+(l_y/2)^2$.

$ \bullet $On note $ L_x$ et $ L_y$ les diamètres de $ S_P(K) \cap D(x,u)$ et $ S_P(K)\cap D(y,u)$.

$ \bullet $Il est clair que $ L_x\geq l_x$ et que $ L_y \geq l_y$. Une étude de cas montre rapidement qu'en considérant les points extrémaux $ x_1$, $ x_2$, $ y_1$ et $ y_2$ de $ S_P(K) \cap D(x,u)$ et $ S_P(K)\cap D(y,u)$ respectivement, l'une des distances $ d(x_i,y_i)$ est supérieure ou égale à $ \sqrt{d'^2+(L_x/2)^2+(L_y/2)^2}$.$ \sqcap$$ \sqcup$

On a encore besoin d'un nouveau lemme:

Lemme [Symétrisation d'un compact de $ \mathbb{R}^n$] On note $ (e_1,...,e_n)$ la base canonique de $ \mathbb{R}^n$, et $ P_1$, ..., $ P_n$ les hyperplans orthogonaux aux $ e_i$ passant par 0. On se donne $ K$ un compact de $ \mathbb{R}^n$.

Alors $ S_{P_1} \circ S_{P_2} \circ S_{P_3} \circ \dots \circ S_{P_n}(K)$ est stable par $ x \mapsto -x$.


Démonstration:

Il suffit de procéder tranquillement, par récurrence; $ S_{P_n}(K)$ est clairement invariant par symétrie par rapport à $ P_n$, $ S_{P_{n-1}}$ est clairement invariant par symétrie par rapport à $ P_{n-1}$, et par rapport à $ P_n$ aussi car la symétrisation de Steiner par rapport à un hyperplan $ P$ ne perturbe pas les symétries par rapport à des hyperplans orthogonaux à $ P$ (vérification immédiate sur la formule!), et ainsi de suite... L'invariance par rapport aux symétries par rapport aux $ n$ hyperplans donnent aussi l'invariance par $ x \mapsto -x$.$ \sqcap$$ \sqcup$

On peut maintenant finir la preuve du théorème, en se donnant un compact $ K$ quelconque, en lui associant un compact $ K'$ égal à $ S_{P_1} \circ S_{P_2} \circ S_{P_3} \circ \dots \circ S_{P_n}(K)$, qui, par les lemmes précédents, est invariant par symétrie par rapport à l'origine, et donc est inclus dans la boule $ B(0,\delta (K')/2)$. Il ne reste qu'à appliquer les différents lemmes pour conclure...$ \sqcap$$ \sqcup$


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C.Antonini_JF.Quint_P.Borgnat_J.Bérard_E.Lebeau_E.Souche_A.Chateau_O.Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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