On considère l'espace
muni de sa structure usuelle d'espace euclidien, et de la mesure de Lebesgue.
Théorème
Quel que soit compact de
de mesure finie,
, avec
pour une partie de
le diamètre de , c'est à dire le des distances entre deux points de .
Cela revient à dire que le plus grand volume possible à diamètre donné est celui d'une boule.
Démonstration:
Nous aurons besoin de la définition suivante:
Définition
Etant donné un compact de
, on appelle symétrisé de Steiner de par rapport à l'hyperplan l'ensemble
où désigne un vecteur directeur unitaire de la droite orthogonale à ,
et où désigne la droite de vecteur unitaire passant par .
désigne la mesure de Lebesgue sur la droite .
Lemme [Première propriété fondamentale du symétrisé de Steiner]
Quel que soit compact et hyperplan, a même mesure que .
Démonstration:Il suffit de considérer le théorème de Fubini, appliqué à la fonction caractéristique de , pour voir que l'intégrale est l'intégrale sur de la mesure
(cette dernière quantité étant la mesure de
.
Lemme [Deuxième propriété fondamentale du symétrisé de Steiner]
Quel que soit compact et hyperplan, a un diamètre inférieur ou égal à celui de .
Démonstration:On considère deux points et de , à une distance l'un de l'autre; on cherche à montrer qu'il existe deux points et de à distance supérieure ou égale à .
On note et les projetés orthogonaux de et sur .
On note et les mesures de
et
.
On note la distance entre et .
est majorée par
.
On note et les diamètres de
et
.
Il est clair que
et que
. Une étude de cas montre rapidement qu'en considérant les points extrémaux , , et de
et
respectivement, l'une des distances
est supérieure ou égale à
.
On a encore besoin d'un nouveau lemme:
Lemme [Symétrisation d'un compact de
]
On note
la base canonique de
, et , ..., les hyperplans orthogonaux aux passant par 0. On se donne un compact de
.
Alors
est stable par
.
Démonstration:
Il suffit de procéder tranquillement, par récurrence;
est clairement invariant par symétrie par rapport à ,
est clairement invariant par symétrie par rapport à , et par rapport à aussi car la symétrisation de Steiner par rapport à un hyperplan ne perturbe pas les symétries par rapport à des hyperplans orthogonaux à (vérification immédiate sur la formule!), et ainsi de suite... L'invariance par rapport aux symétries par rapport aux hyperplans donnent aussi l'invariance par
.
On peut maintenant finir la preuve du théorème, en se donnant un compact quelconque, en lui associant un compact égal à
, qui, par les lemmes précédents, est invariant par symétrie par rapport à l'origine, et donc est inclus dans la boule
. Il ne reste qu'à appliquer les différents lemmes pour conclure...
muni de sa structure usuelle d'espace euclidien, et de la mesure de Lebesgue.
compact de
, avec
pour 
une partie de
des distances entre deux points de 
Cela revient à dire que le plus grand volume possible à diamètre donné est celui d'une boule.
l'ensemble
désigne un vecteur directeur unitaire de la droite orthogonale à 
désigne la droite de vecteur unitaire 
.
désigne la mesure de Lebesgue sur la droite 
de la mesure
(cette dernière quantité étant la mesure de
.
et 
de 
l'un de l'autre; on cherche à montrer qu'il existe deux points 
et 
de 
On note 
et 
les projetés orthogonaux de 
et 
les mesures de
et
.
la distance entre 
est majorée par
.
et 
les diamètres de
et
.
et que
. Une étude de cas montre rapidement qu'en considérant les points extrémaux 
, 
, 
et 
de
est supérieure ou égale à
.
la base canonique de
, ..., 
les hyperplans orthogonaux aux 
passant par 0. On se donne 
est stable par
.
est clairement invariant par symétrie par rapport à 
est clairement invariant par symétrie par rapport à 
, et par rapport à 
hyperplans donnent aussi l'invariance par
égal à
. Il ne reste qu'à appliquer les différents lemmes pour conclure...
