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Séparation de fermés par des ouverts dans un métrique

Proposition Soient $ F_1$ et $ F_2$ deux fermés disjoints d'un espace métrique $ (E,d)$. Alors il existe deux ouverts $ U_1$ et $ U_2$ tels que $ F_1\subset U_1$ et $ F_2 \subset U_2$, $ U_1$ et $ U_2$ étant disjoints.

En outre il existe une fonction continue de $ E$ dans $ [0,1]$ dont la restriction à $ F_1$ est égale à 0 et dont la restriction à $ F_2$ est $ 1$ (c'est à dire que $ \chi_{F_2}\leq f \leq \chi_{F_1^c}$).


Démonstration: Considérer la fonction $ f$ définie par

$\displaystyle f(x)=\frac{\sup ( d(x,F_1)-d(x,F_2),0)}{d(x,F_1)}$

si $ x \not \in F_1$ et $ f(x)=0$ sinon. puis $ U_1=f^{-1}([0,0.5[)$ et $ U_2=f^{-1}(]0.5,1])$.$ \sqcap$$ \sqcup$



C.Antonini_JF.Quint_P.Borgnat_J.Bérard_E.Lebeau_E.Souche_A.Chateau_O.Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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