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Théorème de Baire

Théorème [Théorème de Baire] Soit $ X$ un espace topologique. Si $ X$ est localement compact, ou s'il est métrique complet, alors
$ \bullet $Toute intersection dénombrable d'ouverts denses est dense
$ \bullet $Une réunion dénombrable de fermés recouvrant $ X$ comporte un fermé d'intérieur non vide

Démonstration: Il suffit de montrer la première assertion, la seconde étant équivalente par passage au complémentaire.
On se donne $ U_i$ une famille dénombrable d'ouverts avec $ \overline {U_i}=X$. Soit $ V$ un ouvert non vide. On veut montrer que l'intersection des $ U_i$ a une intersection non vide avec $ V$. On pose $ V_0=U_0 \cap V$ (ouvert non vide par densité de $ U_0$). Ensuite, par récurrence:
$ \bullet $ $ \overline {V_n} \subset V_{n-1} \cap U_n$ pour $ n\geq 1$
$ \bullet $Cas métrique complet: on impose $ diam(V_n)\leq\frac1{2n}$
$ \bullet $Cas localement compact: $ \overline {V_n}$ compact
L'intersection des $ \overline {V_n}$ est non vide, car:
$ \bullet $Dans le cas localement compact, il s'agit d'une suite décroissante de compacts non vides.
$ \bullet $Dans le métrique complet, il s'agit d'une suite décroissante de parties non vides de diamètres tendant vers 0.
Il suffit alors de choisir un élément dans l'intersection des $ V_i$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Application(s)... Les lignes qui suivent fournissent de nombreuses applications du théorème de Baire. Il y a aussi par exemple l'application [*].

Proposition Un espace de Banach de dimension infinie n'a pas de base algébrique dénombrable.

Démonstration:

Supposons que $ E$, espace de Banach de dimension infinie, ait une base dénombrable $ (e_n)$ pour $ n\in \mathbb{N}$.

Définissons alors $ F_n$, espace vectoriel engendré par les $ e_i$ pour $ i\leq n$.

$ F_n$ est alors un fermé (car de dimension finie, résultat [*]) et d'intérieur vide (facile). Or l'union des $ F_n$ est égale à $ E$; donc $ E$ devrait être d'intérieur vide grâce au théorème de Baire, ce qui est absurde.$ \sqcap$$ \sqcup$

Corollaire $ \mathbb{R}[X]$ n'est de Banach pour aucune norme.

Théorème [Théorème de Banach-Steinhaus] Soit $ T_\alpha:E \rightarrow F$ une famille d'applications linéaires continues de l'espace de Banach $ E$ dans l'espace normé $ F$. Si $ \forall x$ $ sup_{\alpha } \parallel T_\alpha x \parallel < \infty$, alors $ sup_\alpha \parallel T_\alpha \parallel < \infty$.

Application(s)... On verra une application à la transformation de Toeplitz (proposition [*]), qui fournit une preuve élégante de la moyenne de Césaro (corollaire [*]).

Démonstration: On pose $ B_n$ l'ensemble des $ x$ tels que $ \forall \alpha $ on a $ \parallel T_\alpha (x)\parallel \leq n$
$ B_n$ est fermé. L'hypothèse permet de dire que l'union des $ B_n$ est $ E$. Par le théorème de Baire, l'un des $ B_n$ est d'intérieur non vide. On en déduit facilement le résultat.$ \sqcap$$ \sqcup$

Corollaire Soit $ T_n: E \rightarrow F$ une suite d'applications linéaires continues de l'espace de Banach $ E$ dans l'espace normé $ F$. Si $ T.x=lim_{n\rightarrow + \infty} T_n(x)$ existe pour tout $ x$, alors $ T$ est une application linéaire continue.

Démonstration: Facile.$ \sqcap$$ \sqcup$

Définition [Application ouverte] Une application est dite ouverte si l'image de tout ouvert est un ouvert.

Théorème [Théorème de l'application ouverte] Une application linéaire continue surjective entre espaces de Banach est ouverte.

Démonstration: Donnons nous une telle application $ f$, entre deux espaces de Banach $ E$ et $ F$. $ f$ est donc supposée linéaire, continue, et surjective. On montre qu'elle est ouverte.

$ \bullet $Soit $ U$ un ouvert de $ E$. Il suffit de montrer que $ f(U)$ est ouvert dans $ F$.

$ \bullet $Soit $ x$ dans $ f(U)$. Il suffit de montrer que $ f(U)$ est un voisinage de $ x$.

$ \bullet $Par translation, on peut supposer $ x=0$.

$ \bullet $Il suffit donc de montrer qu'une certaine boule $ B_F(0,r)$ dans $ F$ centrée en 0 de rayon un certain $ r>0$ est incluse dans l'image par $ f$ d'une boule arbitraire $ B_E(0,r')$ dans $ E$, centrée en 0, de rayon $ r'$, avec $ r'$ tel que $ B_E(0,r') \subset U$. Par linéarité de $ f$, on peut se limiter à $ r'=1$. Il convient donc de montrer qu'il existe $ r$ tel que $ B_F(0,r)\subset f(B_E(0,1))$.

$ \bullet $Définissons, pour $ n\in \mathbb{N}$, $ F_n=\overline {f(B_E(0,n))}$.

$ \bullet $D'après le théorème de Baire (ci-dessus), l'union des $ F_n$ étant égale à $ E$, il existe un $ F_n$ d'intérieur non vide. Du coup, $ F_1$, par linéarité, est lui-même d'intérieur non vide.

$ \bullet $Il existe donc une boule $ B_F(y,\epsilon )$ centrée en $ y$ de rayon $ \epsilon >0$ incluse dans $ F_1$.

$ \bullet $Par symétrie $ -y \in F_1$. Finalement, $ B_F(y,\epsilon )-y \subset F_1 + F_1$, donc $ B_F(0,\epsilon )\subset F_2$ ( $ F_1+F_1=F_2$ comme on s'en convaincra aisément).

$ \bullet $ $ B_F(0,\frac{\epsilon }2) \subset F_1$, d'où le résultat. $ \sqcap$$ \sqcup$

Corollaire [Théorème d'isomorphisme de Banach]Une application continue linéaire bijective entre espaces de Banach a un inverse continu ( $ \rightarrow$est un isomorphisme).

Démonstration: Conséquence immédiate du théorème de l'application ouverte.$ \sqcap$$ \sqcup$

Application(s)... Voir par exemple le théorème [*], utilisant aussi le théorème de Riesz et le théorème d'Arzéla-Ascoli.

Corollaire Si $ E$ muni de la norme $ N_1$ est un Banach et si $ E$ muni de la norme $ N_2$ est un Banach, alors si $ N_1 \leq {\lambda}. N_2$ pour un certain $ {\lambda}$ implique $ N_2 \leq \mu N_1$ pour un certain $ \mu$. Donc si une des deux normes est plus fine que l'autre, alors elles sont équivalentes.

Démonstration: L'identité de $ (E,N_2)$ dans $ (E,N_1)$ est continue, bijective, linéaire; donc c'est un isomorphisme.$ \sqcap$$ \sqcup$

Corollaire [Théorème du graphe fermé] Soit $ T:E\rightarrow F$, linéaire entre les Banach $ E$ et $ F$. L'application $ T$ est continue si et seulement si le graphe de $ T$ est fermé dans $ E \times F$.

Démonstration: Un sens ne pose pas de problème; le graphe d'une application continue est toujours fermé.
Réciproquement, supposons le graphe fermé, voir figure [*].
$ \bullet $L'espace $ E \times F$ est en fait un espace de Banach.
$ \bullet $Le graphe est en fait un Banach (la linéarité de $ T$ permet de conclure que le graphe est en fait un espace vectoriel, qui est fermé par hypothèse ).
$ \bullet $La projection du graphe sur $ E$ restreinte au graphe est une application linéaire bijective du graphe sur $ E$; par le corollaire [*], son inverse est aussi continue. La projection du graphe sur $ F$ est aussi continue.
$ \bullet $La fonction considérée, composition de deux fonctions continues, est donc continue.$ \sqcap$$ \sqcup$

Figure: Schéma explicatif de la preuve du théorème du graphe fermé.
\begin{figure}\begin{displaymath}
\epsfxsize =8cm
\epsfbox{gf.eps}\end{displaymath}\end{figure}


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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