Théorème de Baire

Théorème [Théorème de Baire] Soit un espace topologique. Si est localement compact, ou s'il est métrique complet, alors
Toute intersection dénombrable d'ouverts denses est dense
Une réunion dénombrable de fermés recouvrant comporte un fermé d'intérieur non vide

Démonstration: Il suffit de montrer la première assertion, la seconde étant équivalente par passage au complémentaire.
On se donne une famille dénombrable d'ouverts avec . Soit un ouvert non vide. On veut montrer que l'intersection des a une intersection non vide avec . On pose (ouvert non vide par densité de ). Ensuite, par récurrence:
pour
Cas métrique complet: on impose
Cas localement compact: compact
L'intersection des est non vide, car:
Dans le cas localement compact, il s'agit d'une suite décroissante de compacts non vides.
Dans le métrique complet, il s'agit d'une suite décroissante de parties non vides de diamètres tendant vers 0.
Il suffit alors de choisir un élément dans l'intersection des .

Les lignes qui suivent fournissent de nombreuses applications du théorème de Baire. Il y a aussi par exemple l'application .

Proposition Un espace de Banach de dimension infinie n'a pas de base algébrique dénombrable.

Démonstration:

Supposons que , espace de Banach de dimension infinie, ait une base dénombrable pour .

Définissons alors , espace vectoriel engendré par les pour .

est alors un fermé (car de dimension finie, résultat ) et d'intérieur vide (facile). Or l'union des est égale à ; donc devrait être d'intérieur vide grâce au théorème de Baire, ce qui est absurde.

Corollaire n'est de Banach pour aucune norme.

Théorème [Théorème de Banach-Steinhaus] Soit une famille d'applications linéaires continues de l'espace de Banach dans l'espace normé . Si , alors .

On verra une application à la transformation de Toeplitz (proposition ), qui fournit une preuve élégante de la moyenne de Césaro (corollaire ).

Démonstration: On pose l'ensemble des tels que on a
est fermé. L'hypothèse permet de dire que l'union des est . Par le théorème de Baire, l'un des est d'intérieur non vide. On en déduit facilement le résultat.

Corollaire Soit une suite d'applications linéaires continues de l'espace de Banach dans l'espace normé . Si existe pour tout , alors est une application linéaire continue.

Démonstration: Facile.

Définition [Application ouverte] Une application est dite ouverte si l'image de tout ouvert est un ouvert.

Théorème [Théorème de l'application ouverte] Une application linéaire continue surjective entre espaces de Banach est ouverte.

Démonstration: Donnons nous une telle application , entre deux espaces de Banach et . est donc supposée linéaire, continue, et surjective. On montre qu'elle est ouverte.

Soit un ouvert de . Il suffit de montrer que est ouvert dans .

Soit dans . Il suffit de montrer que est un voisinage de .

Par translation, on peut supposer .

Il suffit donc de montrer qu'une certaine boule dans centrée en 0 de rayon un certain est incluse dans l'image par d'une boule arbitraire dans , centrée en 0, de rayon , avec tel que . Par linéarité de , on peut se limiter à . Il convient donc de montrer qu'il existe tel que .

Définissons, pour , .

D'après le théorème de Baire (ci-dessus), l'union des étant égale à , il existe un d'intérieur non vide. Du coup, , par linéarité, est lui-même d'intérieur non vide.

Il existe donc une boule centrée en de rayon incluse dans .

Par symétrie . Finalement, , donc ( comme on s'en convaincra aisément).

, d'où le résultat.

Corollaire [Théorème d'isomorphisme de Banach]Une application continue linéaire bijective entre espaces de Banach a un inverse continu ( est un isomorphisme).

Démonstration: Conséquence immédiate du théorème de l'application ouverte.

Voir par exemple le théorème , utilisant aussi le théorème de Riesz et le théorème d'Arzéla-Ascoli.

Corollaire Si muni de la norme est un Banach et si muni de la norme est un Banach, alors si pour un certain implique pour un certain . Donc si une des deux normes est plus fine que l'autre, alors elles sont équivalentes.

Démonstration: L'identité de dans est continue, bijective, linéaire; donc c'est un isomorphisme.

Corollaire [Théorème du graphe fermé] Soit , linéaire entre les Banach et . L'application est continue si et seulement si le graphe de est fermé dans .

Démonstration: Un sens ne pose pas de problème; le graphe d'une application continue est toujours fermé.
Réciproquement, supposons le graphe fermé, voir figure .
L'espace est en fait un espace de Banach.
Le graphe est en fait un Banach (la linéarité de permet de conclure que le graphe est en fait un espace vectoriel, qui est fermé par hypothèse ).
La projection du graphe sur restreinte au graphe est une application linéaire bijective du graphe sur ; par le corollaire , son inverse est aussi continue. La projection du graphe sur est aussi continue.
La fonction considérée, composition de deux fonctions continues, est donc continue.

Figure: Schéma explicatif de la preuve du théorème du graphe fermé.