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Théorème de Baire

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Théorème de Baire

Théorème [Théorème de Baire] Soit un espace topologique. Si est localement compact, ou s'il est métrique complet, alors
$\bullet$ Toute intersection dénombrable d'ouverts denses est dense
$\bullet$ Une réunion dénombrable de fermés recouvrant comporte un fermé d'intérieur non vide

Démonstration: Il suffit de montrer la première assertion, la seconde étant équivalente par passage au complémentaire.
On se donne une famille dénombrable d'ouverts avec $\overline {U_i}=X$ . Soit un ouvert non vide. On veut montrer que l'intersection des a une intersection non vide avec . On pose $V_0=U_0 \cap V$ (ouvert non vide par densité de ). Ensuite, par récurrence:
$\bullet$ $\overline {V_n} \subset V_{n-1} \cap U_n$ pour $n\geq 1$
$\bullet$ Cas métrique complet: on impose $diam(V_n)\leq\frac1{2n}$
$\bullet$ Cas localement compact: $\overline {V_n}$ compact
L'intersection des $\overline {V_n}$ est non vide, car:
$\bullet$ Dans le cas localement compact, il s'agit d'une suite décroissante de compacts non vides.
$\bullet$ Dans le métrique complet, il s'agit d'une suite décroissante de parties non vides de diamètres tendant vers 0.
Il suffit alors de choisir un élément dans l'intersection des . $\sqcap$ $\sqcup$

Les lignes qui suivent fournissent de nombreuses applications du théorème de Baire. Il y a aussi par exemple l'application .

Proposition Un espace de Banach de dimension infinie n'a pas de base algébrique dénombrable.

Démonstration:

Supposons que , espace de Banach de dimension infinie, ait une base dénombrable pour $n\in \mathbb{N}$ .

Définissons alors , espace vectoriel engendré par les pour $i\leq n$ .

est alors un fermé (car de dimension finie, résultat ) et d'intérieur vide (facile). Or l'union des est égale à ; donc devrait être d'intérieur vide grâce au théorème de Baire, ce qui est absurde. $\sqcap$ $\sqcup$

Corollaire $\mathbb{R}[X]$ n'est de Banach pour aucune norme.

Théorème [Théorème de Banach-Steinhaus] Soit $T_\alpha:E \rightarrow F$ une famille d'applications linéaires continues de l'espace de Banach dans l'espace normé . Si $\forall x$ $sup_{\alpha } \parallel T_\alpha x \parallel < \infty$ , alors $sup_\alpha \parallel T_\alpha \parallel < \infty$ .

On verra une application à la transformation de Toeplitz (proposition ), qui fournit une preuve élégante de la moyenne de Césaro (corollaire ).

Démonstration: On pose l'ensemble des tels que $\forall \alpha$ on a $\parallel T_\alpha (x)\parallel \leq n$
est fermé. L'hypothèse permet de dire que l'union des est . Par le théorème de Baire, l'un des est d'intérieur non vide. On en déduit facilement le résultat. $\sqcap$ $\sqcup$

Corollaire Soit $T_n: E \rightarrow F$ une suite d'applications linéaires continues de l'espace de Banach dans l'espace normé . Si $T.x=lim_{n\rightarrow + \infty} T_n(x)$ existe pour tout , alors est une application linéaire continue.

Démonstration: Facile. $\sqcap$ $\sqcup$

Définition [Application ouverte] Une application est dite ouverte si l'image de tout ouvert est un ouvert.

Théorème [Théorème de l'application ouverte] Une application linéaire continue surjective entre espaces de Banach est ouverte.

Démonstration: Donnons nous une telle application , entre deux espaces de Banach et . est donc supposée linéaire, continue, et surjective. On montre qu'elle est ouverte.

$\bullet$ Soit un ouvert de . Il suffit de montrer que est ouvert dans .

$\bullet$ Soit dans . Il suffit de montrer que est un voisinage de .

$\bullet$ Par translation, on peut supposer .

$\bullet$ Il suffit donc de montrer qu'une certaine boule dans centrée en 0 de rayon un certain est incluse dans l'image par d'une boule arbitraire dans , centrée en 0, de rayon , avec tel que $B_E(0,r') \subset U$ . Par linéarité de , on peut se limiter à . Il convient donc de montrer qu'il existe tel que $B_F(0,r)\subset f(B_E(0,1))$ .

$\bullet$ Définissons, pour $n\in \mathbb{N}$ , $F_n=\overline {f(B_E(0,n))}$ .

$\bullet$ D'après le théorème de Baire (ci-dessus), l'union des étant égale à , il existe un d'intérieur non vide. Du coup, , par linéarité, est lui-même d'intérieur non vide.

$\bullet$ Il existe donc une boule $B_F(y,\epsilon )$ centrée en de rayon $\epsilon >0$ incluse dans .

$\bullet$ Par symétrie $-y \in F_1$ . Finalement, $B_F(y,\epsilon )-y \subset F_1 + F_1$ , donc $B_F(0,\epsilon )\subset F_2$ ( comme on s'en convaincra aisément).

$\bullet$ $B_F(0,\frac{\epsilon }2) \subset F_1$ , d'où le résultat. $\sqcap$ $\sqcup$

Corollaire [Théorème d'isomorphisme de Banach]Une application continue linéaire bijective entre espaces de Banach a un inverse continu ( $\rightarrow$ est un isomorphisme).

Démonstration: Conséquence immédiate du théorème de l'application ouverte. $\sqcap$ $\sqcup$

Voir par exemple le théorème , utilisant aussi le théorème de Riesz et le théorème d'Arzéla-Ascoli.

Corollaire Si muni de la norme est un Banach et si muni de la norme est un Banach, alors si $N_1 \leq {\lambda}. N_2$ pour un certain ${\lambda}$ implique $N_2 \leq \mu N_1$ pour un certain $\mu$ . Donc si une des deux normes est plus fine que l'autre, alors elles sont équivalentes.

Démonstration: L'identité de dans est continue, bijective, linéaire; donc c'est un isomorphisme. $\sqcap$ $\sqcup$

Corollaire [Théorème du graphe fermé] Soit $T:E\rightarrow F$ , linéaire entre les Banach et . L'application est continue si et seulement si le graphe de est fermé dans $E \times F$ .

Démonstration: Un sens ne pose pas de problème; le graphe d'une application continue est toujours fermé.
Réciproquement, supposons le graphe fermé, voir figure .
$\bullet$ L'espace $E \times F$ est en fait un espace de Banach.
$\bullet$ Le graphe est en fait un Banach (la linéarité de permet de conclure que le graphe est en fait un espace vectoriel, qui est fermé par hypothèse ).
$\bullet$ La projection du graphe sur restreinte au graphe est une application linéaire bijective du graphe sur ; par le corollaire , son inverse est aussi continue. La projection du graphe sur est aussi continue.
$\bullet$ La fonction considérée, composition de deux fonctions continues, est donc continue. $\sqcap$ $\sqcup$