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Distance d'un point à une partie

Proposition Soit $ A$ une partie non vide d'un espace métrique $ (E,d)$. L'application $ \tilde d$ qui à $ x$ dans $ E$ associe $ d(x,A)=inf \{ d(x,a) / a \in A\}$ est continue et $ 1$-lipschitzienne.

Application(s)... Cette proposition servira un peu partout, par exemple pour le lemme [*] (très utile pour approximer des fonctions par des fonctions $ C^\infty$), ou pour le lemme [*], ou pour voir que les $ \epsilon $-voisinages sont ouverts.

Démonstration: Soit $ x$ dans $ E$, montrons que $ \tilde d$ est continue en $ x$. Considérons $ t$ dans $ E$, et donnons nous $ \epsilon >0$ (figure [*]).

Par définition de $ \tilde d$ et de l'inf, il existe $ a\in A$ tel que $ d(x,a) \leq d(x,A) +\epsilon$. Alors $ d(t,A) \leq d(t,x)+d(x,a) \leq
d(t,x)+d(x,A)+\epsilon $, donc $ \tilde d(t) \leq \tilde d(x) + d(t,x) + \epsilon $. En faisant tendre $ \epsilon $ vers 0 on obtient $ \tilde d(t) \leq \tilde d(x) + d(x,t)$. De même on aurait $ \tilde d(x) \leq \tilde d(t) + d(x,y)$. Donc

$\displaystyle \vert\tilde d(x) - \tilde d(t)\vert \leq d(x,t)$

On en déduit la continuité et le caractère $ 1$-lipschitzien de $ \tilde d$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Figure: Continuité de la distance à une partie: une simple application de l'inégalité triangulaire.
\begin{figure}\begin{displaymath}
\epsfxsize =8cm
\epsfbox{distpart.eps}\end{displaymath}\end{figure}

Corollaire La distance entre un compact et un fermé disjoints est $ >0$.

Remarque par distance entre un compact et un fermé on entend l'$ \inf$ de la distance entre un point du compact et un point du fermé.

Démonstration: La distance à un ensemble étant continue, la distance d'un point du compact au fermé atteint son minimum sur le compact (voir [*]). Si la distance est nulle, alors elle est nulle en un certain point $ x$ du compact. On prend alors une suite $ x_n$ du fermé tendant vers $ x$ (par exemple $ d(x_n,x) < 1/n$); sa limite est nécessairement dans le fermé, donc $ x$ est à l'intersection du fermé et du compact, donc ces deux ensembles ne sont pas disjoints. D'où la contradiction, et le résultat.$ \sqcap$$ \sqcup$

Attention! La distance entre deux fermés disjoints n'est pas nécessairement non nulle! Considérer dans $ \mathbb{R}$ les fermés $ F_1$ et $ F_2$ définis par

$\displaystyle F_1=\mathbb{N}$

$\displaystyle F_2=\{\frac{ n+ 1}n / n \in \mathbb{N}\land n\geq 2\}$


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C.Antonini_JF.Quint_P.Borgnat_J.Bérard_E.Lebeau_E.Souche_A.Chateau_O.Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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