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Approximation d'ouverts par des compacts

Lemme Soit $ U$ un ouvert de $ \mathbb{R}^n$. Pour $ m \geq 1$, notons $ K_m$ l'intersection de

$\displaystyle \{ x \in U / d(x,U^c)\geq \frac1m\}$

et de

$\displaystyle \overline B(0,m)$

Alors:

$ \bullet $Pour tout $ m > 0$ $ K_m$ est compact

$ \bullet $ $ K_m \subset Int(K_{m+1})$

$ \bullet $ $ U=\cup_i K_i$

$ \bullet $ $ \forall K$    compact de $ U$ $ \exists m / K \subset K_m$


Application(s)... Ce résultat servira par exemple pour le corollaire [*], ou pour l'utilisation de la définition [*], ou pour la proposition [*].

Démonstration: $ \bullet $$ K_m$ est borné (clairement), $ K_m$ est une intersection de deux fermés (rappelons que pour une partie non vide donnée l'application qui à un point associe sa distance à cette partie est continue, voir proposition [*]). Un fermé borné de $ \mathbb{R}^n$ est compact (corollaire [*]).

$ \bullet $Il suffit de voir que l'intérieur d'une intersection finie est l'intersection des intérieurs.

$ \bullet $La distance d'un point $ x$ de $ U$ au complémentaire de $ U$ est $ >0$ car le complémentaire de $ U$ est fermée (un point à distance nulle d'un fermé est dans ce fermé).

$ \bullet $Soit $ K$ un compact inclus dans $ U$.

L'inf de la distance d'un point de $ K$ au complémentaire de $ U$ est $ >0$ grâce à un corollaire précédent. Donc cette distance est supérieure à $ 1/m$ pour $ m$ assez grand. Il suffit ensuite de prendre $ m$ assez grand pour que $ K$ soit inclus dans la boule fermé $ \overline B(0,m)$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Lemme [Approximation d'ouverts du plan par des compacts pas trop troués]

Soit $ \Omega$ un ouvert de $ \mathbb{C}$ (on pourrait dire $ \mathbb{R}^2$). Alors il existe une suite de compacts $ K_n$ inclus dans $ \Omega$ tels que:

$ \bullet $ $ K_n \subset Int(K_{n+1})$

$ \bullet $Tout compact de $ \Omega$ est inclus dans un certain $ K_n$

$ \bullet $Toute composante connexe de $ (\mathbb{C}\cup \{\infty\}) \setminus K_n$ contient une composante connexe de $ (\mathbb{C}\cup \{ \infty\}) \setminus \Omega$


Pour y voir plus clair La dernière condition signifie simplement qu'il n'y a pas de "trous" superflus dans les $ K_n$. La seconde condition implique que la réunion des $ K_n$ est $ \Omega$.

Démonstration: On utilise les mêmes $ K_n$ que dans la partie précédentes.

Le seul problème est de vérifier que la dernière condition est vérifiée.

On se donne donc $ C$ une composante connexe de $ \hat C\setminus K_n$1.1, et $ x$ appartenant à cette composante connexe.

Alors nécessairement $ \vert x\vert> n$ ou $ \vert x-f\vert<1/n$ pour un certain $ f$ dans $ F$, avec $ F$ le complémentaire de $ \Omega$.

Dans le cas $ \vert x\vert> n$, alors les $ {\lambda}.x$, pour $ {\lambda}$ réels $ \geq 1$, forment une demi-droite, qui unie à $ \{\infty\}$, forme un connexe, inclus dans $ C$, et intersectant une composante connexe de $ \hat C \setminus \Omega$ (puisque $ \infty \not \in \Omega$!).

Dans le cas $ \vert x-f\vert<1/n$, le segment $ [x,f]$ est inclus dans $ C$, donc $ C$ contient $ f$, et donc intersecte $ \hat C \setminus \Omega$, au moins en $ f$.

D'où le résultat.$ \sqcap$$ \sqcup$



Notes

... $ \hat C\setminus K_n$1.1
$ \hat C$ est le compactifié d'Alexandrov de $ \mathbb{C}$ ( $ \mathbb{C}\cup \{\infty\}$)

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C.Antonini_JF.Quint_P.Borgnat_J.Bérard_E.Lebeau_E.Souche_A.Chateau_O.Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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