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Homéomorphisme entre une boule fermée et un compact convexe d'intérieur non vide

Proposition Soit $ K$ un compact convexe d'intérieur non vide de $ \mathbb{R}^n$.

Alors $ K$ est homéomorphe à la boule unité fermée.

Démonstration:

$ \bullet $On peut supposer que 0 appartient à l'intérieur de $ K$.

$ \bullet $On peut agrandir $ K$ jusqu'à ce qu'il contienne la boule unité fermée.

$ \bullet $On définit la fonction $ f$ de la boule dans $ K$ qui à $ x$ associe $ T.x$ avec $ T$ le $ sup$ des $ t \in \mathbb{R}^+$ tels que $ t.u$ appartient à $ K$, avec $ u$ le vecteur directeur de $ x$ ( $ x/{\parallel}x{\parallel}$). On définit $ f(0)=0$.

$ \bullet $Montrons tout d'abord que $ f$ est bien définie. Si $ x$ est non nul, $ K$ étant borné, le sup des $ t$ en question est bien défini si $ x$ est non nul (le cas $ f(0)$ étant séparé).

$ \bullet $$ t.u$ appartient à $ K$ pour tout $ t<T$, par convexité de $ K$. Le fait que $ K$ est fermé fait que $ T.u$ appartient à $ K$. Si $ x$ est de norme $ 1$, le problème est donc résolu. Si $ x$ est de norme plus petite que $ 1$, a fortiori, $ T.x$ appartient à $ K$ par convexité de $ K$.

$ \bullet $Il faut maintenant montrer que $ f$ est continue.

$ \bullet $$ f$ est continue en 0. En effet il est clair que $ f(x)$ tend vers 0 quand $ x$ tend vers 0.

$ \bullet $Il convient maintenant de montrer que $ f$ est continue en $ x$ autre que 0. Pour cela il suffira de montrer que la fonction qui à $ u$ associe $ T$ le $ sup$ des $ t \in \mathbb{R}^+$ tels que $ t.u$ appartient à $ K$ est continue sur la sphère (ensuite il est clair que la multiplication par un scalaire est continue, que la fonction qui à un vecteur associe son vecteur directeur est continue (par quotient $ x/{\parallel}x{\parallel}$).

$ \bullet $La figure [*] parle d'elle même.$ \sqcap$$ \sqcup$

Application(s)... Cela permet d'appliquer des triangulations sur la boule unité fermée (enfin sur un simplexe homéomorphe à la boule), voir théorème [*].

Figure: Par hypothèse, la boule $ B$ est incluse dans $ K$. On se donne $ z$ le point $ f(u)$, c'est à dire le "bord" de $ K$ dans la direction $ u$. Alors la zone grisée appartient nécessairement à $ K$ par convexité. $ f(v)$ est alors nécessairement au delà de $ \Delta _1$ par convexité de $ K$, et en deça de $ \Delta _2$, par définition de $ z$. D'où la continuité de $ f$.
\begin{figure}\begin{displaymath}
\epsfxsize =9cm
\epsfbox{continuite.eps}\end{displaymath}\end{figure}


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C.Antonini_JF.Quint_P.Borgnat_J.Bérard_E.Lebeau_E.Souche_A.Chateau_O.Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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