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Intersection vide d'une suite décroissante de fermés convexes non vides bornés d'un espace vectoriel normé

Sur $ \mathbb{R}$ l'intersection d'une suite décroissante de convexes fermés bornés non vides ne saurait être vide. Dans le cas général il en est tout autrement.

$ \bullet $Soit $ E$ l'espace des fonctions continues de $ [0,1]$ dans $ \mathbb{R}$.

$ \bullet $C'est un espace vectoriel normé pour la norme infinie. C'est même un espace de Banach.

$ \bullet $Soit $ (x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite de rationnels dense dans $ [0,1]$.

$ \bullet $Soit $ C_n$ l'ensemble des applications de $ E$ nulles en $ x_i$ pour tout $ i$ dans $ [0,n]$, bornées par $ 2$ et d'intégrale $ 1$ sur $ [0,1]$.

$ \bullet $Les $ C_n$ sont non vides, convexes, fermés, bornés, décroissants.

$ \bullet $L'intersection des $ C_n$ ne peut contenir que des fonctions nulles sur tous les rationnels, et continues, donc l'intersection des $ C_n$ ne peut pas contenir de fonction non nulle. Or L'intersection des $ C_n$ ne peut contenir que des fonctions d'intégrale $ 1$.$ \sqcap$$ \sqcup$


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C.Antonini_JF.Quint_P.Borgnat_J.Bérard_E.Lebeau_E.Souche_A.Chateau_O.Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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