Intersection vide d'une suite décroissante de fermés convexes non vides bornés d'un espace vectoriel normé

Sur l'intersection d'une suite décroissante de convexes fermés bornés non vides ne saurait être vide. Dans le cas général il en est tout autrement.

Soit l'espace des fonctions continues de dans .

C'est un espace vectoriel normé pour la norme infinie. C'est même un espace de Banach.

Soit une suite de rationnels dense dans .

Soit l'ensemble des applications de nulles en pour tout dans , bornées par et d'intégrale sur .

Les sont non vides, convexes, fermés, bornés, décroissants.

L'intersection des ne peut contenir que des fonctions nulles sur tous les rationnels, et continues, donc l'intersection des ne peut pas contenir de fonction non nulle. Or L'intersection des ne peut contenir que des fonctions d'intégrale .