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Valeurs d'adhérence $ \neq $ limites de suites extraites

Proposition L'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite n'est pas nécessairement égal à l'ensemble des limites de sous-suites extraites.

Démonstration En effet, soit $ E$ l'ensemble des applications continues de $ [0,1]$ dans $ [0,1]$; on le munit de la topologie produit, c'est à dire de la topologie de la convergence simple (il est facile de vérifier que c'est pareil...).

$ \bullet $Un voisinage de la fonction nulle dans $ E$ est de la forme $ \{ f / \forall i\in[1,n] \vert f(x_i)\vert\leq \epsilon _i\}  (*)$, avec les $ \epsilon _i$ positifs, et les $ x_i$ dans $ [0,1]$.

$ \bullet $On considère les applications en dents de scie, égales à 0 en $ x_0$, en $ x_1$, en $ x_2$, ... , en $ x_n$, avec $ x_i<x_{i+1}$, $ x_0=0$ et $ x_1=1$; et affine entre $ x_i$ et $ \frac{x_i+x_{i+1}}2$ et $ \frac{x_i+x_{i+1}}2$ et $ x_{i+1}$, avec $ f(\frac{x_i+x_{i+1}}2)=1$, avec les $ x_i$ rationnels.

$ \bullet $On peut clairement les énumérer, et donc il s'agit d'une suite.

$ \bullet $la suite nulle est clairement dans l'adhérence de cette suite (prendre un voisinage de la fonction nulle écrit sous la forme $ (*)$, et regarder ce qu'il se passe.

$ \bullet $aucune suite extraite ne peut tendre simplement vers la fonction nulle, sinon le théorème de convergence dominée de Lebesgue permettrait de dire que l'intégrale de la fonction nulle est la limite de l'intégrale des fonctions de la suite - or toute fonction de notre suite a une intégrale $ \frac 12$.$ \sqcap$$ \sqcup$


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C.Antonini_JF.Quint_P.Borgnat_J.Bérard_E.Lebeau_E.Souche_A.Chateau_O.Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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