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Constante d'Euler

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Constante $\Gamma$ d'Euler

Définissons $u_n=\sum_{k=1}^n 1/k - ln(n)$ .

$\displaystyle \frac{1}{n+1} < \int_n^{n+1} \frac1t dt < \frac1n$

car $t\mapsto 1/t$ est décroissante sur $\mathbb{R}_+^*$ . En écrivant $u_{n+1}-u_n$ , on obtient donc que

décroît. Par ailleurs, $u_{n+1}-u_n>\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}$ , donc par sommation

, donc

. Donc

, décroissante positive, tend vers une limite finie, notée $\Gamma$ et appelée constante d'Euler.
Définition La limite de la suite $u_n=\sum_{k=1}^n 1/k - ln(n)$ est appelée constante d'Euler et est noté $\Gamma$ .
On obtient facilement en Maple (par la commande "evalf(gamma,500)"):

$\displaystyle \Gamma \simeq .5772156649015328606065120900824024310421593359399235988057672348848677267776646709$

$\displaystyle 3694706329174674951463144724980708248096050401448654283622417399764492353625350033374293$

$\displaystyle 7337737673942792595258247094916008735203948165670853233151776611528621199501507984793745$

$\displaystyle 0857057400299213547861466940296043254215190587755352673313992540129674205137541395491116$

$\displaystyle 8510280798423487758720503843109399736137255306088933126760017247953783675927135157722610$

$\displaystyle 2734929139407984301034177717780881549570661075010161916633401522789358679654972520362128$

$\displaystyle 7922655595366962817638879272680132431010476505963703947394957638906572967929601009015125$

$\displaystyle 1959509222435014093498712282479497471956469763185066761290638110518241974448678363808617$

$\displaystyle 4945516989279230187739107294578155431600500218284409605377243420328547836701517739439870$

$\displaystyle 0302370339518328690001558193988042707411542227819716523011073565833967348717650491941812$

$\displaystyle 3000406546931429992977795693031005030863034185698032310836916400258929708909854868257773$

$\displaystyle 64288253954925873629596133298574739302$

C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud

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